题目
某化工厂生产某项化学产品每单位标准重量 1000 g,由 A B C 3 种 化学物混合而成,产品组成成分是每单位产品中 A 不超过 300 g, B 不 少于 150 g ,C 不 少于 200 g. A B C 每克成本分别为 5 元, 6 元, 7 元 .问如何配置此化学产品,才能使成本最低?
某化工厂生产某项化学产品每单位标准重量 1000 g,由 A B C 3 种 化学物混合而成,产品组成成分是每单位产品中 A 不超过 300 g, B 不 少于 150 g ,C 不 少于 200 g
. A B C 每克成本分别为 5 元, 6 元, 7 元 .问如何配置此化学产品,才能使成本最低?
题目解答
答案
设配置A种x克，B种y克，则c种配置(1000-x-y)克，成本为W
由题得:
即 
又 W=5x+6y+7(1000-x-y)=7000-2x-y .
要使W最低，故使 2x+y 最大， 令 z=2x+y .
则画出不等式可行域
如图，阴影部分为可行域，平移直线y=-2x,当平移到交点处(300,800-300)即(300,500)处，此时z取到最大值。
综上所述，配置A种300克，B种500克，C种200克，此时成本最低
解析
步骤 1：定义变量
设配置A种x克，B种y克，则C种配置(1000-x-y)克，成本为W。
步骤 2：建立约束条件
由题意得：$\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant 300\\ y\geqslant 150\\ 1000-x-y\geqslant 200\end{matrix} \right.$
即 $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant 300\\ y\geqslant 150\\ x+y\leqslant 800\end{matrix} \right.$
步骤 3：建立成本函数
成本函数为：$W=5x+6y+7(1000-x-y)=7000-2x-y$。
要使成本最低，即要使$2x+y$最大，令$z=2x+y$。
步骤 4：求解最大值
画出不等式可行域，平移直线$y=-2x$，当平移到交点处$(300,800-300)$即$(300,500)$处，此时$z$取到最大值。
设配置A种x克，B种y克，则C种配置(1000-x-y)克，成本为W。
步骤 2：建立约束条件
由题意得：$\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant 300\\ y\geqslant 150\\ 1000-x-y\geqslant 200\end{matrix} \right.$
即 $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant 300\\ y\geqslant 150\\ x+y\leqslant 800\end{matrix} \right.$
步骤 3：建立成本函数
成本函数为：$W=5x+6y+7(1000-x-y)=7000-2x-y$。
要使成本最低，即要使$2x+y$最大，令$z=2x+y$。
步骤 4：求解最大值
画出不等式可行域，平移直线$y=-2x$，当平移到交点处$(300,800-300)$即$(300,500)$处，此时$z$取到最大值。