题目
5-18 一低碳钢构件,已知许用应力 [ 0] =120MPa, 试用第三强度理论和第四强度理论-|||-校核该构件的强度。危险点处的主应力分别如下:(1) (sigma )_(1)=-50MPa (sigma )_(2)=-70MPa ,σ3=-|||--160MPa; (2) (sigma )_(1)=6UMPa ,σ2=0, (sigma )_(3)=-50MPa
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定第三强度理论的应力
第三强度理论，也称为最大剪应力理论，认为材料的破坏是由最大剪应力引起的。对于三向应力状态，最大剪应力可以通过以下公式计算：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( \sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}} \right)
$$
其中，$\sigma_{\text{max}}$ 和 $\sigma_{\text{min}}$ 分别是主应力中的最大值和最小值。
步骤 2：计算第一组主应力的第三强度理论应力
对于第一组主应力，${\sigma }_{1}=-50MPa$ ,${\sigma }_{2}=-70MPa$ ,${\sigma }_{3}=-160MPa$，最大主应力为 ${\sigma }_{1}=-50MPa$，最小主应力为 ${\sigma }_{3}=-160MPa$。因此，最大剪应力为：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( -50 - (-160) \right) = \frac{1}{2} \times 110 = 55MPa
$$
步骤 3：计算第二组主应力的第三强度理论应力
对于第二组主应力，${\sigma }_{1}=60MPa$ ,${\sigma }_{2}=0$ ,${\sigma }_{3}=-50MPa$，最大主应力为 ${\sigma }_{1}=60MPa$，最小主应力为 ${\sigma }_{3}=-50MPa$。因此，最大剪应力为：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( 60 - (-50) \right) = \frac{1}{2} \times 110 = 55MPa
$$
步骤 4：确定第四强度理论的应力
第四强度理论，也称为畸变能理论，认为材料的破坏是由畸变能引起的。对于三向应力状态，畸变能可以通过以下公式计算：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right)}
$$
步骤 5：计算第一组主应力的第四强度理论应力
对于第一组主应力，${\sigma }_{1}=-50MPa$ ,${\sigma }_{2}=-70MPa$ ,${\sigma }_{3}=-160MPa$，畸变能为：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (-50 + 70)^2 + (-70 + 160)^2 + (-160 + 50)^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 20^2 + 90^2 + 110^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 400 + 8100 + 12100 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 20600} = \sqrt{10300} \approx 101.5MPa
$$
步骤 6：计算第二组主应力的第四强度理论应力
对于第二组主应力，${\sigma }_{1}=60MPa$ ,${\sigma }_{2}=0$ ,${\sigma }_{3}=-50MPa$，畸变能为：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (60 - 0)^2 + (0 + 50)^2 + (-50 - 60)^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 60^2 + 50^2 + 110^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 3600 + 2500 + 12100 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 18200} = \sqrt{9100} \approx 95.4MPa
$$
步骤 7：校核构件的强度
根据第三强度理论和第四强度理论，构件的强度校核如下：
- 第一组主应力：第三强度理论应力为 55MPa，第四强度理论应力为 101.5MPa，均小于许用应力 120MPa，因此强度满足要求。
- 第二组主应力：第三强度理论应力为 55MPa，第四强度理论应力为 95.4MPa，均小于许用应力 120MPa，因此强度满足要求。
第三强度理论，也称为最大剪应力理论，认为材料的破坏是由最大剪应力引起的。对于三向应力状态，最大剪应力可以通过以下公式计算：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( \sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}} \right)
$$
其中，$\sigma_{\text{max}}$ 和 $\sigma_{\text{min}}$ 分别是主应力中的最大值和最小值。
步骤 2：计算第一组主应力的第三强度理论应力
对于第一组主应力，${\sigma }_{1}=-50MPa$ ,${\sigma }_{2}=-70MPa$ ,${\sigma }_{3}=-160MPa$，最大主应力为 ${\sigma }_{1}=-50MPa$，最小主应力为 ${\sigma }_{3}=-160MPa$。因此，最大剪应力为：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( -50 - (-160) \right) = \frac{1}{2} \times 110 = 55MPa
$$
步骤 3：计算第二组主应力的第三强度理论应力
对于第二组主应力，${\sigma }_{1}=60MPa$ ,${\sigma }_{2}=0$ ,${\sigma }_{3}=-50MPa$，最大主应力为 ${\sigma }_{1}=60MPa$，最小主应力为 ${\sigma }_{3}=-50MPa$。因此，最大剪应力为：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( 60 - (-50) \right) = \frac{1}{2} \times 110 = 55MPa
$$
步骤 4：确定第四强度理论的应力
第四强度理论，也称为畸变能理论，认为材料的破坏是由畸变能引起的。对于三向应力状态，畸变能可以通过以下公式计算：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right)}
$$
步骤 5：计算第一组主应力的第四强度理论应力
对于第一组主应力，${\sigma }_{1}=-50MPa$ ,${\sigma }_{2}=-70MPa$ ,${\sigma }_{3}=-160MPa$，畸变能为：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (-50 + 70)^2 + (-70 + 160)^2 + (-160 + 50)^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 20^2 + 90^2 + 110^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 400 + 8100 + 12100 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 20600} = \sqrt{10300} \approx 101.5MPa
$$
步骤 6：计算第二组主应力的第四强度理论应力
对于第二组主应力，${\sigma }_{1}=60MPa$ ,${\sigma }_{2}=0$ ,${\sigma }_{3}=-50MPa$，畸变能为：
$$
\sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( (60 - 0)^2 + (0 + 50)^2 + (-50 - 60)^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 60^2 + 50^2 + 110^2 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 3600 + 2500 + 12100 \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 18200} = \sqrt{9100} \approx 95.4MPa
$$
步骤 7：校核构件的强度
根据第三强度理论和第四强度理论，构件的强度校核如下：
- 第一组主应力：第三强度理论应力为 55MPa，第四强度理论应力为 101.5MPa，均小于许用应力 120MPa，因此强度满足要求。
- 第二组主应力：第三强度理论应力为 55MPa，第四强度理论应力为 95.4MPa，均小于许用应力 120MPa，因此强度满足要求。