已知单元体的应力状态如图所示。试求： 1）主应力的大小和主平面的方位； 2）并在图中绘出主单元体； 3）最大切应力（应力单位：MPa）。 40-|||-10-|||-square 20

步骤 1：计算主应力
根据主应力的计算公式，我们首先计算主应力的大小。公式为：
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
其中，${\sigma }_{x}=20MPa$，${\sigma }_{y}=40MPa$，${\tau }_{xy}=-10MPa$。代入公式计算得：
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {20+40}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {20-40}{2})}^{2}+{(-10)}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt {100+100}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt {200}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm 14.14$
因此，主应力大小为：
${\sigma }_{1}=44.14MPa$，${\sigma }_{2}=15.86MPa$，${\sigma }_{3}=0MPa$（因为是平面应力状态，第三个主应力为0）。

步骤 2：计算主平面的方位
主平面的方位可以通过计算${\alpha }_{0}$来确定，公式为：
$\tan 2{\alpha }_{0}=-\dfrac {2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
代入${\tau }_{xy}=-10MPa$，${\sigma }_{x}=20MPa$，${\sigma }_{y}=40MPa$，得：
$\tan 2{\alpha }_{0}=-\dfrac {2\times (-10)}{20-40}=-\dfrac {-20}{-20}=-1$
因此，$2{\alpha }_{0}=-45^{\circ }$，${\alpha }_{0}=-22.5^{\circ }$，及${\alpha }_{0}=67.5^{\circ }$。

步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过计算${\tau }_{max}$来确定，公式为：
${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
代入${\sigma }_{1}=44.14MPa$，${\sigma }_{3}=0MPa$，得：
${\tau }_{max}=\dfrac {44.14-0}{2}=22.07MPa$