题目
[例 8-7] 已知某点的应力状态如图 8-15 所示,图中应力单位为-|||-MPa,试求:(1)主应力;(2)最大切应力。-|||-40-|||-30-|||-120-|||-30.-|||-30-|||-图 8-15
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
根据题目中给出的应力状态，我们首先确定主应力。在图中，z面是主平面，其上正应力${\sigma }_{2}=-30MPa$为主应力之一。另外两个主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$可以通过${\sigma }_{x}$、${\sigma }_{y}$、${\tau }_{xy}$用式(8-7)求出，即
${\sigma }_{min}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}$
步骤 2：计算主应力
将${\sigma }_{x}=120MPa$、${\sigma }_{y}=40MPa$、${\tau }_{xy}=-30MPa$代入式(8-7)中，得到
${\sigma }_{min}=\dfrac {120+40}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {120-40}{2})}^{2}+{(-30)}^{2}}MPa$
$=\dfrac {160}{2}\pm \sqrt {{40}^{2}+{(-30)}^{2}}MPa$
$=80\pm \sqrt {1600+900}MPa$
$=80\pm \sqrt {2500}MPa$
$=80\pm 50MPa$
因此，${\sigma }_{1}=130MPa$，${\sigma }_{3}=30MPa$。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力${\tau }_{max}$可以通过式(8-12)求得，即
${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
将${\sigma }_{1}=130MPa$、${\sigma }_{3}=30MPa$代入式(8-12)中，得到
${\tau }_{max}=\dfrac {130-30}{2}MPa$
$=\dfrac {100}{2}MPa$
$=50MPa$
根据题目中给出的应力状态，我们首先确定主应力。在图中，z面是主平面，其上正应力${\sigma }_{2}=-30MPa$为主应力之一。另外两个主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$可以通过${\sigma }_{x}$、${\sigma }_{y}$、${\tau }_{xy}$用式(8-7)求出，即
${\sigma }_{min}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}$
步骤 2：计算主应力
将${\sigma }_{x}=120MPa$、${\sigma }_{y}=40MPa$、${\tau }_{xy}=-30MPa$代入式(8-7)中，得到
${\sigma }_{min}=\dfrac {120+40}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {120-40}{2})}^{2}+{(-30)}^{2}}MPa$
$=\dfrac {160}{2}\pm \sqrt {{40}^{2}+{(-30)}^{2}}MPa$
$=80\pm \sqrt {1600+900}MPa$
$=80\pm \sqrt {2500}MPa$
$=80\pm 50MPa$
因此，${\sigma }_{1}=130MPa$，${\sigma }_{3}=30MPa$。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力${\tau }_{max}$可以通过式(8-12)求得，即
${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
将${\sigma }_{1}=130MPa$、${\sigma }_{3}=30MPa$代入式(8-12)中，得到
${\tau }_{max}=\dfrac {130-30}{2}MPa$
$=\dfrac {100}{2}MPa$
$=50MPa$