题目
已知某 FCC 晶体的晶格常数 a = 0.405 , (nm) ，试计算：(1) 原子半径 r ；(2) (110) 晶面的面间距 d_(110) ；(3) (100) 晶面的原子面密度。
已知某 FCC 晶体的晶格常数 $ a = 0.405 \, \text{nm} $，试计算：
(1) 原子半径 $ r $；
(2) (110) 晶面的面间距 $ d_{110} $；
(3) (100) 晶面的原子面密度。
题目解答
答案
1. 根据FCC晶体关系 $ a\sqrt{2} = 4r $，可得：
\[
r = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{0.405 \times 1.414}{4} \approx 0.143 \, \text{nm}
\]
2. (110) 晶面的面间距为：
\[
d_{110} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{0.405}{1.414} \approx 0.286 \, \text{nm}
\]
3. (100) 晶面的原子面密度：
\[
\rho = \frac{N}{S} = \frac{2}{a^2} = \frac{2}{(0.405)^2} \approx 12.2 \, \text{nm}^{-2}
\]
最终结果：
1. $ r \approx 0.143 \, \text{nm} $；
2. $ d_{110} \approx 0.286 \, \text{nm} $；
3. $ \rho \approx 12.2 \, \text{nm}^{-2} $。
解析
本题主要考查面心立方（FCC）晶体的相关知识，包括原子半径、晶面间距和原子面密度的计算。解题思路如下：
- 计算原子半径 $r$：
- 在面心立方（FCC）晶体中，原子沿面对角线紧密排列，面对角线的长度等于 $4r$。
- 已知晶格常数为 $a$，根据勾股定理，面对角线长度为 $a\sqrt{2}$，所以有 $a\sqrt{2} = 4r$。
- 由此可得原子半径 $r$ 的计算公式为 $r = \frac{a\sqrt{2}}{4}$。
- 将 $a = 0.405 \, \text{nm}$ 代入公式，$r = \frac{0.405 \times \sqrt{2}}{4}$，因为 $\sqrt{2}\approx1.414$，所以 $r = \frac{0.405 \times 1.414}{4} \approx 0.143 \, \text{nm}$。
- 计算 (110) 晶面的面间距 $d_{110}$：
- 对于面心立方晶体，(110) 晶面的面间距公式为 $d_{110} = \frac{a}{\sqrt{2}}$。
- 将 $a = 0.405 \, \text{nm}$ 代入公式，$d_{110} = \frac{0.405}{\sqrt{2}}$，因为 $\sqrt{2}\approx1.414$，所以 $d_{110} = \frac{0.405}{1.414} \approx 0.286 \, \text{nm}$。
- 计算 (100) 晶面的原子面密度 $\rho$：
- 原子面密度的计算公式为 $\rho = \frac{N}{S}$，其中 $N$ 是一个晶面上的原子数，$S$ 是该晶面的面积。
- 在 (100) 晶面上，一个晶面包含 $2$ 个完整的原子（每个角上的原子被 $4$ 个晶面共享，所以每个角原子对该晶面的贡献为 $\frac{1}{4}$，$4\times\frac{1}{4}=1$，再加上面心的 $1$ 个原子，共 $2$ 个原子），即 $N = 2$。
- (100) 晶面是正方形，其面积 $S = a^2$。
- 所以原子面密度 $\rho = \frac{2}{a^2}$。
- 将 $a = 0.405 \, \text{nm}$ 代入公式，$\rho = \frac{2}{(0.405)^2} \approx 12.2 \, \text{nm}^{-2}$。