计算面心立方的致密度

面心立方（FCC）的致密度计算主要考查对晶胞结构的理解和空间几何的应用。关键点在于：

1. 确定晶胞参数与原子半径的关系：通过面对角线长度等于4r推导晶胞边长a；
2. 计算原子体积总和：考虑晶胞内原子数量；
3. 致密度公式：原子体积占晶胞体积的比例。

步骤1：确定晶胞边长与原子半径的关系

在FCC结构中，面心原子与顶点原子接触，面对角线长度为4r。
面对角线公式为 $a\sqrt{2} = 4r$，解得：
$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$

步骤2：计算晶胞体积

晶胞体积为边长的三次方：
$V_{\text{晶胞}} = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$

步骤3：计算原子体积总和

FCC晶胞含4个原子，单个原子体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$，总原子体积：
$V_{\text{原子}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{16}{3}\pi r^3$

步骤4：计算致密度

致密度公式为：
$\text{致密度} = \frac{V_{\text{原子}}}{V_{\text{晶胞}}} \times 100\% = \frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} \times 100\% = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100\%$
代入 $\pi \approx 3.1416$ 和 $\sqrt{2} \approx 1.4142$，计算得：
$\text{致密度} \approx \frac{3.1416}{3 \times 1.4142} \times 100\% \approx 74\%$