证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交。

步骤 1：定义晶面族(hkl)的面间距和法向单位矢量
设晶面族(hkl)的面间距为d，法向单位矢量为$\overrightarrow {n}$。根据密勒指数的意义，在立方晶系中，晶面族(hkl)的法向单位矢量的分量可以表示为：
$\cos (\overrightarrow {a},\overrightarrow {n})=\dfrac {d}{a/h}$ , $\cos (\overrightarrow {b},\overrightarrow {n})=\dfrac {d}{a/k}$ , $\cos (\overrightarrow {c},\overrightarrow {n})=\dfrac {d}{a/l}$
步骤 2：计算法向单位矢量$\overrightarrow {n}$
根据步骤1中的方向余弦，可以得到法向单位矢量$\overrightarrow {n}$的表达式：
$\overrightarrow {n}=h\dfrac {d}{a}i+k\dfrac {d}{a}\overrightarrow {j}+l\dfrac {d}{a}k=\dfrac {d}{a}(hi+k\overrightarrow {j}+l\overrightarrow {k})$
步骤 3：计算晶列[hkl]的方向矢量$\overrightarrow {R}$
晶列[hkl]的方向矢量$\overrightarrow {R}$可以表示为：
$\overrightarrow {R}=ha\overrightarrow {i}+ka\overrightarrow {j}+la\overrightarrow {k}=a(h\overrightarrow {i}+k\overrightarrow {j}+l\overrightarrow {k})$
步骤 4：证明晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交
对比步骤2和步骤3中的表达式，可以得到：
$\overrightarrow {n}=\dfrac {d}{{a}^{2}}\overrightarrow {R}$
即$\overrightarrow {n}\ykparallel \overrightarrow {R}$
所以，晶列[hkl]垂直于晶面族(hkl)。