题目
12.3 已知单元体的应力状态如图所示,图中应力单位皆为MP a,用解析法求:-|||-(1)主应力的大小及主平面的位置,并画在单元体上;-|||-(2)图示平面内的极值切应力。-|||-10-|||-(a)-|||-60-|||-40 15-|||-40-|||-(b) (c)-|||-40 50-|||-20 50 30-|||-60 40-|||-(d) (e) (f)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
对于给定的单元体，我们首先需要确定主应力。主应力是单元体在主平面上的正应力，主平面是切应力为零的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到。对于平面应力状态，特征方程为：
$$
\sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0
$$
其中，$I_1$、$I_2$、$I_3$分别是应力张量的三个不变量。对于平面应力状态，$I_1 = \sigma_x + \sigma_y$，$I_2 = \sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2$，$I_3 = 0$。因此，特征方程简化为：
$$
\sigma^2 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2) = 0
$$
步骤 2：求解主应力
对于每个单元体，我们根据给定的应力状态，代入上述方程求解主应力。例如，对于图(a)中的单元体，$\sigma_x = 40$ MPa，$\sigma_y = 10$ MPa，$\tau_{xy} = 30$ MPa。代入方程求解主应力。
步骤 3：确定主平面的位置
主平面的位置可以通过求解切应力为零的平面的方位角来确定。对于平面应力状态，主平面的方位角$\alpha_0$可以通过以下公式求解：
$$
\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
$$
步骤 4：求解极值切应力
极值切应力可以通过求解主应力之间的差值的一半来确定。对于平面应力状态，极值切应力$T_{max}$可以通过以下公式求解：
$$
T_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}
$$
对于给定的单元体，我们首先需要确定主应力。主应力是单元体在主平面上的正应力，主平面是切应力为零的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到。对于平面应力状态，特征方程为：
$$
\sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0
$$
其中，$I_1$、$I_2$、$I_3$分别是应力张量的三个不变量。对于平面应力状态，$I_1 = \sigma_x + \sigma_y$，$I_2 = \sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2$，$I_3 = 0$。因此，特征方程简化为：
$$
\sigma^2 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2) = 0
$$
步骤 2：求解主应力
对于每个单元体，我们根据给定的应力状态，代入上述方程求解主应力。例如，对于图(a)中的单元体，$\sigma_x = 40$ MPa，$\sigma_y = 10$ MPa，$\tau_{xy} = 30$ MPa。代入方程求解主应力。
步骤 3：确定主平面的位置
主平面的位置可以通过求解切应力为零的平面的方位角来确定。对于平面应力状态，主平面的方位角$\alpha_0$可以通过以下公式求解：
$$
\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
$$
步骤 4：求解极值切应力
极值切应力可以通过求解主应力之间的差值的一半来确定。对于平面应力状态，极值切应力$T_{max}$可以通过以下公式求解：
$$
T_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}
$$