题目
(1)试写出全应力p与正应力σ和切应力z之间的关系,并证明之。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义全应力、正应力和切应力
全应力p是指作用在某一平面上的总应力，正应力σ是指垂直于该平面的应力分量，切应力t是指平行于该平面的应力分量。
步骤 2：建立全应力与正应力、切应力之间的关系
根据矢量分解原理，全应力p可以分解为正应力σ和切应力t，它们之间的关系可以通过三角函数来表示。设全应力p与正应力σ之间的夹角为α，则有：
$\sigma = p \cos \alpha$
$t = p \sin \alpha$
步骤 3：证明全应力p与正应力σ和切应力t之间的关系
将步骤2中的两个方程平方后相加，得到：
${\sigma}^{2} + {t}^{2} = {(p \cos \alpha)}^{2} + {(p \sin \alpha)}^{2}$
根据三角恒等式${\cos}^{2} \alpha + {\sin}^{2} \alpha = 1$，可以进一步化简为：
${\sigma}^{2} + {t}^{2} = {p}^{2}$
全应力p是指作用在某一平面上的总应力，正应力σ是指垂直于该平面的应力分量，切应力t是指平行于该平面的应力分量。
步骤 2：建立全应力与正应力、切应力之间的关系
根据矢量分解原理，全应力p可以分解为正应力σ和切应力t，它们之间的关系可以通过三角函数来表示。设全应力p与正应力σ之间的夹角为α，则有：
$\sigma = p \cos \alpha$
$t = p \sin \alpha$
步骤 3：证明全应力p与正应力σ和切应力t之间的关系
将步骤2中的两个方程平方后相加，得到：
${\sigma}^{2} + {t}^{2} = {(p \cos \alpha)}^{2} + {(p \sin \alpha)}^{2}$
根据三角恒等式${\cos}^{2} \alpha + {\sin}^{2} \alpha = 1$，可以进一步化简为：
${\sigma}^{2} + {t}^{2} = {p}^{2}$