题目
某饲养场饲养动物出售,设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。表1饲料蛋白质（g）矿物质（g）维生素（mg）价格（元/kg)1310.50.2220.510.7310.20.20.446220.35180.50.80.8要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。
某饲养场饲养动物出售,设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。
表1
饲料
蛋白质（g）
矿物质（g）
维生素（mg）
价格（元/kg)
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。
题目解答
答案
解:设总费用为Z。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。
表示满足动物生长的营养需要时,第i种饲料所需的数量。则有:
解析
考查要点：本题属于线性规划问题，要求根据动物的营养需求，确定最经济的饲料组合方案。核心在于建立目标函数和约束条件，并理解如何通过优化方法找到最优解。
解题思路：
- 明确变量：设每种饲料的用量为变量（如$x_1$到$x_5$）。
- 构建目标函数：总成本最小化，即$\min Z = \sum (\text{单价} \times \text{用量})$。
- 设定约束条件：确保蛋白质、矿物质、维生素的总含量分别满足最低需求。
- 非负约束：饲料用量不能为负。
关键点：
- 单位统一：营养需求与饲料成分单位需一致（如蛋白质需求为700g，饲料成分以g/kg为单位）。
- 约束方程的正确性：需准确对应每种饲料的营养成分系数。
1. 变量定义
设$x_i$（$i=1,2,3,4,5$）表示第$i$种饲料的用量（单位：kg）。
2. 目标函数
总成本最小化：
$\min Z = 0.2x_1 + 0.7x_2 + 0.4x_3 + 0.3x_4 + 0.8x_5$
3. 约束条件
蛋白质约束（≥700g）
$3x_1 + 2x_2 + x_3 + 6x_4 + 18x_5 \geq 700$
矿物质约束（≥30g）
$1x_1 + 0.5x_2 + 0.2x_3 + 2x_4 + 0.5x_5 \geq 30$
维生素约束（≥100mg）
$0.5x_1 + 1x_2 + 0.2x_3 + 2x_4 + 0.8x_5 \geq 100$
非负约束
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$
4. 模型总结
通过上述目标函数和约束条件，构建线性规划模型，最终通过单纯形法或优化软件求解。