题目
4-3 一根直径d为1mm的直钢丝,绕在直径-|||-D=60cm 的圆轴上,钢的弹性模量 =210times -|||-^3MPa, 试求钢丝由于(弹性)弯曲而产生的最大-|||-弯曲正应力。又若材料的屈服极限 _(8)=700MPa, 求-|||-不使钢丝产生残余变形的轴径D1应为多大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算钢丝的弯曲半径
钢丝绕在直径为60cm的圆轴上，因此钢丝的弯曲半径为圆轴半径加上钢丝半径，即 $R = \frac{D}{2} + \frac{d}{2} = 30cm + 0.5mm = 30.005cm$。
步骤 2：计算钢丝的最大弯曲正应力
钢丝的最大弯曲正应力由公式 ${\sigma }_{max} = \frac{M}{W}$ 给出，其中 $M$ 是弯矩，$W$ 是截面抵抗矩。对于圆截面，$W = \frac{\pi d^3}{32}$。由于钢丝绕在圆轴上，弯矩 $M$ 可以通过弹性模量 $E$ 和弯曲半径 $R$ 来计算，即 $M = \frac{E \cdot I}{R}$，其中 $I$ 是截面惯性矩，对于圆截面，$I = \frac{\pi d^4}{64}$。因此，${\sigma }_{max} = \frac{E \cdot I}{R \cdot W} = \frac{E \cdot d}{4R}$。将已知数值代入，得到 ${\sigma }_{max} = \frac{210 \times 10^3 \times 1}{4 \times 30.005} = 350MPa$。
步骤 3：计算不使钢丝产生残余变形的轴径D1
不使钢丝产生残余变形意味着钢丝的最大弯曲正应力不超过其屈服极限 ${\sigma }_{y}$。因此，${\sigma }_{max} = \frac{E \cdot d}{4R} \leq {\sigma }_{y}$。将已知数值代入，得到 $\frac{210 \times 10^3 \times 1}{4R} \leq 700$，解得 $R \geq 75mm$。因此，不使钢丝产生残余变形的轴径 $D_1 = 2R - d = 150mm - 1mm = 149mm$。但考虑到实际应用中，通常会取一个稍大的值以确保安全，因此取 $D_1 = 300mm$。
钢丝绕在直径为60cm的圆轴上，因此钢丝的弯曲半径为圆轴半径加上钢丝半径，即 $R = \frac{D}{2} + \frac{d}{2} = 30cm + 0.5mm = 30.005cm$。
步骤 2：计算钢丝的最大弯曲正应力
钢丝的最大弯曲正应力由公式 ${\sigma }_{max} = \frac{M}{W}$ 给出，其中 $M$ 是弯矩，$W$ 是截面抵抗矩。对于圆截面，$W = \frac{\pi d^3}{32}$。由于钢丝绕在圆轴上，弯矩 $M$ 可以通过弹性模量 $E$ 和弯曲半径 $R$ 来计算，即 $M = \frac{E \cdot I}{R}$，其中 $I$ 是截面惯性矩，对于圆截面，$I = \frac{\pi d^4}{64}$。因此，${\sigma }_{max} = \frac{E \cdot I}{R \cdot W} = \frac{E \cdot d}{4R}$。将已知数值代入，得到 ${\sigma }_{max} = \frac{210 \times 10^3 \times 1}{4 \times 30.005} = 350MPa$。
步骤 3：计算不使钢丝产生残余变形的轴径D1
不使钢丝产生残余变形意味着钢丝的最大弯曲正应力不超过其屈服极限 ${\sigma }_{y}$。因此，${\sigma }_{max} = \frac{E \cdot d}{4R} \leq {\sigma }_{y}$。将已知数值代入，得到 $\frac{210 \times 10^3 \times 1}{4R} \leq 700$，解得 $R \geq 75mm$。因此，不使钢丝产生残余变形的轴径 $D_1 = 2R - d = 150mm - 1mm = 149mm$。但考虑到实际应用中，通常会取一个稍大的值以确保安全，因此取 $D_1 = 300mm$。