题目
6.15 已知平面简谐波的波函数为 =Acos pi (4t+2x)(SI).-|||-(1)写出 t=4.2s 时各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何时通过-|||-原点?-|||-(2)画出 t=4.2s 时的波形曲线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波函数的波峰位置
波函数 $y=A\cos \pi (4t+2x)$ 的波峰位置对应于 $\cos \pi (4t+2x) = 1$，即 $\pi (4t+2x) = 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。因此，波峰位置的坐标式为 $4t+2x = 2k$，即 $x = k - 2t$。
步骤 2：计算 t=4.2s 时的波峰位置
将 $t=4.2s$ 代入 $x = k - 2t$，得到 $x = k - 8.4$。因此，t=4.2s 时各波峰位置的坐标式为 $x = k - 8.4$，其中 $k$ 是整数。
步骤 3：求离原点最近的波峰位置
离原点最近的波峰位置对应于 $k$ 的值使得 $|k - 8.4|$ 最小。当 $k=8$ 时，$|8 - 8.4| = 0.4$，此时波峰位置为 $x = 8 - 8.4 = -0.4m$。
步骤 4：计算波峰通过原点的时间
波峰通过原点时，$x=0$，代入 $x = k - 2t$，得到 $0 = k - 2t$，即 $t = \frac{k}{2}$。当 $k=8$ 时，$t = \frac{8}{2} = 4s$。
步骤 5：画出 t=4.2s 时的波形曲线
t=4.2s 时的波形曲线为 $y=A\cos \pi (4 \times 4.2 + 2x) = A\cos \pi (16.8 + 2x)$。波形曲线的形状为余弦函数，周期为 $\frac{2\pi}{2\pi} = 1m$，振幅为 $A$，相位为 $16.8\pi$。
波函数 $y=A\cos \pi (4t+2x)$ 的波峰位置对应于 $\cos \pi (4t+2x) = 1$，即 $\pi (4t+2x) = 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。因此，波峰位置的坐标式为 $4t+2x = 2k$，即 $x = k - 2t$。
步骤 2：计算 t=4.2s 时的波峰位置
将 $t=4.2s$ 代入 $x = k - 2t$，得到 $x = k - 8.4$。因此，t=4.2s 时各波峰位置的坐标式为 $x = k - 8.4$，其中 $k$ 是整数。
步骤 3：求离原点最近的波峰位置
离原点最近的波峰位置对应于 $k$ 的值使得 $|k - 8.4|$ 最小。当 $k=8$ 时，$|8 - 8.4| = 0.4$，此时波峰位置为 $x = 8 - 8.4 = -0.4m$。
步骤 4：计算波峰通过原点的时间
波峰通过原点时，$x=0$，代入 $x = k - 2t$，得到 $0 = k - 2t$，即 $t = \frac{k}{2}$。当 $k=8$ 时，$t = \frac{8}{2} = 4s$。
步骤 5：画出 t=4.2s 时的波形曲线
t=4.2s 时的波形曲线为 $y=A\cos \pi (4 \times 4.2 + 2x) = A\cos \pi (16.8 + 2x)$。波形曲线的形状为余弦函数，周期为 $\frac{2\pi}{2\pi} = 1m$，振幅为 $A$，相位为 $16.8\pi$。