5-4 一根直径d为1 mm的直钢丝,绕在直径 D=60cm 的圆轴上,钢的弹性模量 =210times (10)^4MPa, 试求-|||-钢丝由于(弹性)弯曲而产生的最大弯曲正应力。又若材料的屈服极限 _(1)=700MPa, 求不使钢丝产生残余-|||-变形的轴径D1应为多大?

考查要点：本题主要考查弯曲正应力的计算及材料屈服条件的应用。
解题思路：

1. 第一部分：利用弯曲正应力公式 $\sigma_{\text{max}} = \frac{E \cdot d}{2\rho}$，其中 $\rho$ 为钢丝弯曲时的曲率半径（圆轴半径加钢丝半径）。
2. 第二部分：根据屈服极限 $\sigma_{\text{总}} = 700\ \text{MPa}$，反推所需曲率半径对应的轴径 $D_1$，此时忽略钢丝半径对曲率半径的影响（简化处理）。

关键点：

• 公式选择：正确应用弯曲正应力与曲率半径的关系式。
• 单位统一：弹性模量 $E$ 的单位需与长度单位匹配。
• 简化假设：第二部分计算中忽略钢丝半径对曲率半径的影响，直接取 $\rho = D_1/2$。

第（1）题：计算最大弯曲正应力 $\sigma_{\text{max}}$

确定曲率半径 $\rho$

圆轴半径 $R = \frac{D}{2} = \frac{60\ \text{cm}}{2} = 30\ \text{cm} = 300\ \text{mm}$，钢丝半径 $r = \frac{d}{2} = \frac{1\ \text{mm}}{2} = 0.5\ \text{mm}$。
总曲率半径 $\rho = R + r = 300\ \text{mm} + 0.5\ \text{mm} = 300.5\ \text{mm}$。

代入公式计算

$\sigma_{\text{max}} = \frac{E \cdot d}{2\rho} = \frac{210 \times 10^8\ \text{MPa} \cdot 1\ \text{mm}}{2 \cdot 300.5\ \text{mm}} \approx \frac{210 \times 10^8}{601} \approx 350\ \text{MPa}.$

第（2）题：求轴径 $D_1$

建立方程

屈服极限 $\sigma_{\text{总}} = 700\ \text{MPa}$，此时曲率半径 $\rho_1 = \frac{D_1}{2}$（忽略钢丝半径）。
公式变形为：
$\sigma_{\text{总}} = \frac{E \cdot d}{D_1} \implies D_1 = \frac{E \cdot d}{\sigma_{\text{总}}}.$

代入数值计算

$D_1 = \frac{210 \times 10^3\ \text{MPa} \cdot 1\ \text{mm}}{700\ \text{MPa}} = 300\ \text{mm}.$