四、已知:平面应力状态单元体如图所示(单位为MPa),材料的弹性模量E=200GPa,泊松比为0.3。求:(1)主应力;(2)最大切应力;(3)最大线应变。(15分)

步骤 1：计算主应力
根据平面应力状态下的主应力计算公式，我们有：
${{\sigma }_{1,2}}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}}$

其中，${\sigma }_{x}=50MPa$，${\sigma }_{y}=0MPa$，${\tau }_{xy}=-20MPa$。将这些值代入公式中，我们得到：
${{\sigma }_{1,2}}=\dfrac {50+0}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {50-0}{2})}^{2}+{(-20)}^{2}}$
${{\sigma }_{1,2}}=25\pm \sqrt {{25}^{2}+{(-20)}^{2}}$
${{\sigma }_{1,2}}=25\pm \sqrt {625+400}$
${{\sigma }_{1,2}}=25\pm \sqrt {1025}$
${{\sigma }_{1,2}}=25\pm 32.02$
因此，主应力为：
${{\sigma }_{1}}=57.02MPa$，${{\sigma }_{2}}=-7.02MPa$

步骤 2：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{2}}{2}$
将主应力值代入公式中，我们得到：
${\tau }_{max}=\dfrac {57.02-(-7.02)}{2}$
${\tau }_{max}=\dfrac {64.04}{2}$
${\tau }_{max}=32.02MPa$

步骤 3：计算最大线应变
最大线应变可以通过以下公式计算：
${\varepsilon }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}}{E}$
其中，${\sigma }_{1}=57.02MPa$，$E=200GPa=200\times {10}^{3}MPa$。将这些值代入公式中，我们得到：
${\varepsilon }_{max}=\dfrac {57.02}{200\times {10}^{3}}$
${\varepsilon }_{max}=2.851\times {10}^{-4}$