题目

用85 times 85 (mm)^2方坯轧制Phi 28 (mm)圆钢，若平均延伸系数为1.28，应轧制多少道次？

用$85 \times 85 \text{mm}^2$方坯轧制$\Phi 28 \text{mm}$圆钢，若平均延伸系数为$1.28$，应轧制多少道次？

题目解答

答案

初始面积 $A_0 = 85 \times 85 = 7225 \, \text{mm}^2$，最终面积 $A_n = \pi \times 14^2 \approx 615.75 \, \text{mm}^2$。 总延伸系数为： \[ \mu_{\text{总}} = \frac{A_0}{A_n} = \frac{7225}{615.75} \approx 11.73 \] 根据 $\mu^n = 11.73$，取对数得： \[ n = \frac{\ln 11.73}{\ln 1.28} = \frac{2.461}{0.246} \approx 10 \] 因此，需轧制 10 道次。 答案：10 道次。

解析

本题考查金属轧制过程中延伸系数的应用以及对数运算来计算轧制道次的知识。解题思路如下：

  1. 首先，根据方坯和圆钢的尺寸分别计算出初始横截面积 $A_0$ 和最终横截面积 $A_n$。
    • 对于方坯，其横截面积为边长的平方，已知方坯尺寸为 $85\times85\text{mm}^2$，所以初始面积 $A_0 = 85\times85$。
    • 对于圆钢，其横截面积公式为 $A=\pi r^2$，已知圆钢直径为 $\Phi28\text{mm}$，则半径 $r = \frac{28}{2}=14\text{mm}$，所以最终面积 $A_n=\pi\times14^2$。
  2. 然后，根据总延伸系数的定义 $\mu_{\text{总}}=\frac{A_0}{A_n}$，计算出从方坯轧制成圆钢的总延伸系数。
  3. 设轧制道次为 $n$，已知平均延伸系数为 $\mu$，根据延伸系数的关系有 $\mu^n=\mu_{\text{总}}$。
    • 为了求解 $n$，对等式两边取自然对数，根据对数运算法则 $\ln a^b = b\ln a$，可得 $n\ln\mu=\ln\mu_{\text{总}}$，进而得到 $n = \frac{\ln\mu_{\text{总}}}{\ln\mu}$。
  4. 最后，将计算得到的 $\mu_{\text{总}}$ 和已知的平均延伸系数 $\mu = 1.28$ 代入上式，计算出轧制道次 $n$。

具体计算过程如下：

  1. 计算初始面积 $A_0$：
    • $A_0 = 85\times85=7225\text{mm}^2$。
  2. 计算最终面积 $A_n$：
    • $A_n=\pi\times14^2\approx3.14\times196 = 615.75\text{mm}^2$。
  3. 计算总延伸系数 $\mu_{\text{总}}$：
    • $\mu_{\text{总}}=\frac{A_0}{A_n}=\frac{7225}{615.75}\approx11.73$。
  4. 计算轧制道次 $n$：
    • 已知 $\mu = 1.28$，由 $n = \frac{\ln\mu_{\text{总}}}{\ln\mu}$，可得 $n=\frac{\ln11.73}{\ln1.28}$。
    • 查对数表或使用计算器可得 $\ln11.73\approx2.461$，$\ln1.28\approx0.246$。
    • 则 $n=\frac{2.461}{0.246}\approx10$。