题目

有一钢板原长度 L=2(m)，钢板的弹性模量 E=2.059times10^11，应变片电阻 R=100Omega，K=2.5，测出拉伸应变为 400muvarepsilon，求钢的伸长 Delta L、应力 delta、和 Delta R/R，如测得 1muvarepsilon 则相应的 Delta R/R 是多少？

有一钢板原长度 $L=2\text{m}$，钢板的弹性模量 $E=2.059\times10^{11}$，应变片电阻 $R=100\Omega$，$K=2.5$，测出拉伸应变为 $400\mu\varepsilon$，求钢的伸长 $\Delta L$、应力 $\delta$、和 $\Delta R/R$，如测得 $1\mu\varepsilon$ 则相应的 $\Delta R/R$ 是多少？

题目解答

答案

1. 根据 $ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} $，得 $ \Delta L = 4 \times 10^{-4} \times 2 = 0.8 \, \text{mm} $。 2. 根据 $ \sigma = E \varepsilon $，得 $ \sigma = 2.059 \times 10^{11} \times 4 \times 10^{-4} = 8.236 \times 10^{7} \, \text{Pa} = 82.36 \, \text{MPa} $。 3. 当 $ \varepsilon = 400 \, \mu \varepsilon $ 时，$ \frac{\Delta R}{R} = 2.5 \times 4 \times 10^{-4} = 0.1\% $。 4. 当 $ \varepsilon = 1 \, \mu \varepsilon $ 时，$ \frac{\Delta R}{R} = 2.5 \times 10^{-6} $。 最终结果： - $ \Delta L = 0.8 \, \text{mm} $。 - $ \sigma = 82.36 \, \text{MPa} $。 - $ \frac{\Delta R}{R} = 0.1\% $（当 $ \varepsilon = 400 \, \mu \varepsilon $）。 - $ \frac{\Delta R}{R} = 2.5 \times 10^{-6} $（当 $ \varepsilon = 1 \, \mu \varepsilon $）。

解析

本题主要主要考查了材料力学中应变、应力、伸长量纲分析以及应变片相关物理量的计算。解题思路是根据已知的物理公式，结合题目所给的条件，逐步计算出所需的伸长量 $\Delta L$、应力 $\sigma$、电阻相对变化量 $\Delta R/R$。

  1. 计算钢的伸长量 $\Delta L$：
    • 应变的定义式为 $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$，其中 $\varepsilon$ 是应变，$\Delta L$ 是伸长量，$L$ 是原长度。
    • 已知 $L = 2\text{m}$m，拉伸应变 $\varepsilon = 400\mu\varepsilon = 400\times10^{-6}=4\times10^{-4$。
    • 由 $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$ 可得 $\Delta L=\varepsilon\times L$，将数值代入数据可得：
      • $\Delta L = 4\times10^{-4}\times2\text{m}=8\times10^{-4}\text{m}$。
      • 因为 $1\text{m}=1000\text{mm}$，所以 $8\times10^{-4}\text{m}=8\times10^{-4}\times1000\text{mm}=0.8\text{mm}$。
  2. 计算应力 $\Delta L$ 对应的应力 $\sigma$：
    • 根据胡克定律，应力 $\sigma$ 与应变 $\varepsilon$ 的关系为 $\sigma = E\varepsilon$，其中 $E$ 是弹性模量。
    • 已知 $E = 2.059\times10^{11}\text{Pa}$，$\varepsilon = 4\times10^{-4}$。
    • 将数据代入公式可得：
      • $\sigma = 2.059\times10^{11}\text{Pa}\times4\times10^{-{-4 = 8.236\times10^{7}\text{Pa}}$。
      • 因为 $1\text{MPa}=10^{6\text{Pa}$，所以 $8.236\times10^{7}\text{Pa}=\frac{8.236\times10^{7}}{10^{6}}\text{MPa}=82.36\text{MPa}$。
  3. 计算当 $\varepsilon = 400\mu\varepsilon$ 时的 $\Delta R/R$：
    • 应变片的灵敏系数 $K$ 的定义为 $\frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$，即 $K=\frac{\Delta R/R}{\varepsilon}$，变形可得 $\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$。
    • 已知 $K = 2.5$，$\varepsilon = 4\times10^{-4}$。
    • 将数据代入公式：
      • $\frac{\Delta R}{R}=2.5\times4\times10^{-4}=0.001 = 0.1\%}$。
  4. 计算当 $\varepsilon = 1\mu\varepsilon$ 时的 $\Delta R/R$：
    • 同样根据 $\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$。
    • 已知 $K = 2.5，$\varepsilon = 1\mu\varepsilon = 1\times10^{-6}$。
    • 将数据代入公式：
      • $\frac{\Delta R}{R}=2.5\times1\times10^{-6}=2.5\times10^{-6}$。