纯金属均匀形核的时候,假设晶胚的形状为球状,则在过冷液体中出现一个半径为r的球状晶胚时,它所引起的自由能变化为:Delta G=(4)/(3)pi r^3Delta G_(v)+4pi r^2sigma其中Delta G_(v)为单位体积自由能的变化,sigma为单位面积表面能。现在,如果晶核是边长为a的立方体,试求其临界边长a^*和形核功Delta G^*的表达式。

本题本题考查纯金属均匀形核时，不同形状晶胚的自由能变化、临界尺寸和形核功的相关知识。解题的关键在于根据立方体晶胚的体积和表面积公式，推导出其自由能变化表达式，再通过求导找到临界尺寸变化时自由能的极值点，从而得到临界边长和形核功。

1. 推导立方体晶胚的自由能变化表达式：**
   • 对于边长为$a$的立方体晶胚，其体积$V = a^3$，表面积$6$个面的表面积$S = 6a^2$。
   • 已知单位体积自由能的变化为$\Delta G_{v}$，单位面积表面能为$\sigma$，根据自由能变化的组成，体积自由能变化为$V\Delta G_{v}=a^3\Delta G_{v}$，表面自由能为$S\sigma = 6a^2\sigma$。
   • 所以，立方体晶胚的自由能变化$\Delta G$为体积自由能与表面自由能之和，即$\Delta G = a^3 \Delta G_{v} + 6a^2 \sigma$。
2. 求临界边长$a^*$：
   • 当晶胚达到临界尺寸时，自由能变化$\Delta G$达到最大值，此时$\frac{d\Delta G}{da} = 0$。
   • 对$\Delta G = a^3 \Delta G_{v} + 6a^2 \sigma$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：$\frac{d\Delta G}{da}=3a^{2}\Delta G_{v}+12a\sigma$。
   • 令$\frac{d\Delta G}{da} = 0$，即$3a^{2}\Delta G_{v}+12a\sigma = 0$，提取公因式$3a$得$3a(a\Delta G_{v}+4\sigma)=0$。
   • 此方程有两个解，$1)\(3a = 0$，解得$a = 0$，这是晶胚刚开始形成的情况，不是临界尺寸显然不为$0$，舍去；(2)$a\Delta G_{v}+4\sigma = 0$，移项可得$a=-\frac{4\sigma}{\Delta G_{v}}$，因为$\Delta G_{v}\lt0$（过冷液体中形成晶胚体积自由能是降低的），所以$a^* = \frac{4 \sigma}{|\Delta G_{v}|}$。
3. 求形核功$\Delta G^*$：
   • 形核功$\(\Delta G^*$)是临界晶核形成时自由能的变化量，将临界边长$a^*$代入自由能变化表达式$\Delta G = a^3 \Delta G_{v} + 6a^2 \sigma$中。
   • 把$\Delta G^*=(a^*)^3 \Delta G_{v} + 6(a^*)^2 \sigma$，把$1)中求得的\(a^* = \frac{4 \sigma}{|\Delta G_{v}|}$代入可得：
   • $\begin{align*} \Delta G^*&=(\frac{4 \sigma}{|\Delta G_{v}|})^3 \Delta G_{v} + 6(\frac{4 \sigma}{|\Delta G_{v}|})2 \sigma\\ &=-\frac{64\sigma^{3}}{|\Delta G_{v}|^{3}}\Delta G_{v}+6\times\frac{16\sigma^{2}{|\Delta G_{v}|^{2}}\sigma\\ &=-\frac{64\sigma^{3}}{|\Delta G_{v}|^{2}}+\frac{96\sigma^{3}}{|\Delta G_{v}|^{2}}\\ &=\frac{32 \sigma^{3}}{|\Delta G_{v}|^{2}} \end{align*}$