【证明题】证明在具有立方对称性的晶体中,介电常数张量为对角张量: 或 ,其中 表示沿 轴的分量。

步骤 1：电位移矢量与外电场的关系
电位移矢量 与外电场 间的关系一般可表示为 ,用矩阵表示为 (1) 用 表示晶体旋转后的电位移矢量。设电场沿y轴正方向,(1)式变为 (2)

步骤 2：晶体绕电场方向转动
将晶体绕电场方向转动 ,使z轴转到原轴方向,x轴转到原z轴方向,由于电位移 作相同的转动,于是 (3)

步骤 3：立方晶体的对称操作
由于上述转动是立方晶体的一个对称操作,电场没有改变,应有 由(2)式和(3)式得 要使上两式同时满足,只有 (4)

步骤 4：立方晶体的对称操作
同理可得 (5) 若再取电场沿[111]方向,则有 让晶体绕转动 ,使z轴转到原x轴,x轴转到原y轴,y轴转到原z轴,则有 因为 ,由上式得 (6)

步骤 5：立方晶体的介电常数张量
由上面可得,具有立方对称性的晶体的介电常数张量为 或