已知单元体的应力状态如图所示。试求： 1）主应力的大小和主平面的方位； 2）并在图中绘出主单元体； 3）最大切应力（应力单位：MPa）。 30-|||-→ square 20-|||-20

步骤 1：计算主应力
根据给定的应力状态，我们首先计算主应力。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到。对于平面应力状态，主应力可以通过以下公式计算：
\[
\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
其中，$\sigma_x = -20$ MPa，$\sigma_y = 30$ MPa，$\tau_{xy} = 20$ MPa。代入公式，我们得到：
\[
\sigma_{1,3} = \frac{-20 + 30}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-20 - 30}{2}\right)^2 + 20^2} = 5 \pm \sqrt{25 + 400} = 5 \pm 21.21
\]
因此，主应力为：
\[
\sigma_1 = 26.21 \text{ MPa}, \quad \sigma_3 = -16.21 \text{ MPa}
\]

步骤 2：计算主平面的方位
主平面的方位可以通过以下公式计算：
\[
\tan 2\alpha_0 = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
\]
代入已知值，我们得到：
\[
\tan 2\alpha_0 = \frac{2 \times 20}{-20 - 30} = -0.8
\]
因此，主平面的方位为：
\[
2\alpha_0 = \arctan(-0.8) \approx -38.66^\circ
\]
所以，主平面的方位为：
\[
\alpha_0 = -19.33^\circ \quad \text{和} \quad \alpha_0 = 70.67^\circ
\]

步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
\[
\tau_{\text{max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}
\]
代入主应力的值，我们得到：
\[
\tau_{\text{max}} = \frac{26.21 - (-16.21)}{2} = 21.21 \text{ MPa}
\]