(1)计算相对分子质量为280 000的线形聚乙烯分子的自由旋转链的均方末端距。键长0.154nm,键角为109.5°;(2) 用光散射法测得在θ溶剂中上述样品的链均方根末端为56.7nm,计算刚性比值σ(3) 由自由旋转链的均方末端距求均方旋转半径。

考查要点：本题涉及高分子物理中自由旋转链模型的均方末端距、刚性比值及均方旋转半径的计算，需掌握以下核心概念：

1. 自由旋转链均方末端距公式：$\langle r^2 \rangle_{\text{fr}} = 2n l^2$（线形链，$n$为键数，$l$为键长）。
2. 刚性比值$\sigma$定义：$\sigma = \frac{\langle r^2 \rangle_{\text{fr}}}{\langle r^2 \rangle_{\text{obs}}}$，反映链的刚性。
3. 均方旋转半径公式：$S^2 = \frac{\langle r^2 \rangle}{6n^2}$，描述链的尺寸分布。

破题关键：

1. 确定聚合度$n$：根据相对分子质量和单体分子量计算。
2. 键数计算：聚乙烯每重复单元含2个C-C键，总键数为$2n$。
3. 单位一致性：键长需保持单位统一（如nm）。

(1) 计算自由旋转链的均方末端距

1. 计算聚合度$n$
   聚乙烯单体分子量为28 g/mol，相对分子质量$M=280,000$，则：
   $n = \frac{M}{\text{单体分子量}} = \frac{280,000}{28} = 10,000.$

2. 计算总键数
   每重复单元含2个C-C键，总键数为：
   $\text{键数} = 2n = 2 \times 10,000 = 20,000.$

3. 代入均方末端距公式
   $\langle r^2 \rangle_{\text{fr}} = 2 \times \text{键数} \times l^2 = 2 \times 20,000 \times (0.154)^2 = 949 \, \text{nm}^2.$

(2) 计算刚性比值$\sigma$

1. 刚性比值公式
   $\sigma = \frac{\langle r^2 \rangle_{\text{fr}}}{\langle r^2 \rangle_{\text{obs}}} = \frac{949}{56.7} \approx 16.72.$

(3) 计算均方旋转半径

1. 均方旋转半径公式
   $S^2 = \frac{\langle r^2 \rangle_{\text{fr}}}{6n^2} = \frac{949}{6 \times 10,000^2} \approx 1.58 \times 10^{-5} \, \text{nm}^2.$