若变形体屈服时的应力状态为:=×10MPa试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力及β值.并分析差异大小。

步骤 1：确定应力状态
给定的应力状态为：
\[
\sigma = \begin{pmatrix}
230 & -30 & -30 \\
-30 & 150 & -30 \\
-30 & -30 & -300
\end{pmatrix} \text{MPa}
\]
步骤 2：计算主应力
主应力是应力张量的特征值。通过求解特征方程，可以得到主应力：
\[
\det(\sigma - \lambda I) = 0
\]
计算得到主应力为：
\[
\sigma_1 = 230 \text{MPa}, \quad \sigma_2 = 150 \text{MPa}, \quad \sigma_3 = -300 \text{MPa}
\]
步骤 3：应用Tresca准则
Tresca准则表示材料屈服时的最大剪应力等于材料的屈服剪应力，即：
\[
\sigma_s = \frac{|\sigma_1 - \sigma_3|}{2}
\]
代入主应力值：
\[
\sigma_s = \frac{|230 - (-300)|}{2} = \frac{530}{2} = 265 \text{MPa}
\]
步骤 4：应用Mises准则
Mises准则表示材料屈服时的等效应力等于材料的屈服应力，即：
\[
\sigma_s = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}}
\]
代入主应力值：
\[
\sigma_s = \sqrt{\frac{(230 - 150)^2 + (150 - (-300))^2 + (-300 - 230)^2}{2}} = \sqrt{\frac{80^2 + 450^2 + 530^2}{2}} = \sqrt{\frac{6400 + 202500 + 280900}{2}} = \sqrt{\frac{489800}{2}} = \sqrt{244900} = 494.9 \text{MPa}
\]
步骤 5：计算β值
β值是Tresca准则和Mises准则屈服应力的比值，即：
\[
\beta = \frac{\sigma_s \text{(Tresca)}}{\sigma_s \text{(Mises)}} = \frac{265}{494.9} = 0.535
\]