已知某钢制零件材料的疲劳极限 sigma_r = 112 MPa，若取疲劳曲线表达式中的指数 m = 9，N_0 = 5 times 10^6。试求相应于寿命分别为 5 times 10^4、7 times 10^4 次循环[1]时的疲劳极限 sigma_(rN) 之值。

本题考查材料疲劳极限的计算，解题思路是利用给定的疲劳极限公式，将不同的循环次数代入公式中进行计算。

已知疲劳极限公式为$\sigma_{rN} = \sigma_r \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$，其中$\sigma_r$为材料的疲劳极限，$m$为疲劳曲线表达式中的指数，$N_0$为循环基数，$N$为实际循环次数，$\sigma_{rN}$为相应于寿命$N$次循环时的疲劳极限。

当$N = 5 \times 10^4$时：

• 首先计算$\frac{N_0}{N}$的值：
  已知$N_0 = 5 \times 10^6$，$N = 5 \times 10^4$，则$\frac{N_0}{N}=\frac{5\times10^6}{5\times10^4}$。
  根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的原则，$\frac{5\times10^6}{5\times10^4}=10^{6 - 4}=10^2 = 100$。
• 然后将$\sigma_r = 112$ MPa，$\frac{N_0}{N}=100$，$m = 9$代入公式$\sigma_{rN} = \sigma_r \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$中，可得：
  $\sigma_{rN1} = 112 \times (100)^{\frac{1}{9}}$。
  计算$(100)^{\frac{1}{9}}\approx1.5849$，则$\sigma_{rN1} = 112 \times 1.5849\approx 177.5$ MPa。

当$N = 7 \times 10^4$时：

• 首先计算$\frac{N_0}{N}$的值：
  已知$N_0 = 5 \times 10^6$，$N = 7 \times 10^4$，则$\frac{N_0}{N}=\frac{5\times10^6}{7\times10^4}$。
  同样根据同底数幂相除的原则，$\frac{5\times10^6}{7\times10^4}=\frac{5}{7}\times10^{6 - 4}=\frac{500}{7}$。
• 然后将$\sigma_r = 112$ MPa，$\frac{N_0}{N}=\frac{500}{7}$，$m = 9$代入公式$\sigma_{rN} = \sigma_r \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$中，可得：
  $\sigma_{rN2} = 112 \times \left( \frac{500}{7} \right)^{\frac{1}{9}}$。
  计算$\left( \frac{500}{7} \right)^{\frac{1}{9}}\approx1.549$，则$\sigma_{rN2} = 112 \times 1.549\approx 173.5$ MPa。