在 100 kPa 及 423 K 下，将 1 mol NH3(g) 等温压缩到体积等于 10 dm3，求最少需做功多少。假定是理想气体。假定符合 van der waals 方程式，已知 van der waals 常数，a=0.417 Pa⋅m6⋅mol−2；b=3.71×10−5 m3⋅mol−1 。

考查要点：本题主要考查理想气体和范德华气体在等温压缩过程中的做功计算，涉及积分运算和实际气体模型的应用。

解题核心思路：

1. 理想气体：利用等温压缩公式 $W = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$，需先计算初始体积 $V_1$。
2. 范德华气体：需通过范德华方程 $P = \frac{RT}{V - b} - \frac{a}{V^2}$ 计算初始体积 $V_1$，再对压强积分求功，通常需要数值积分。

破题关键点：

• 单位统一：体积需转换为立方米，压强用帕斯卡。
• 初始体积计算：理想气体用 $PV = nRT$，范德华气体需解范德华方程。
• 积分方法：理想气体可解析积分，范德华气体需数值积分。

(1) 理想气体情况

计算初始体积 $V_1$

根据理想气体定律：
$V_1 = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \cdot 8.314 \cdot 423}{10^5} \approx 0.0351 \, \text{m}^3 = 35.1 \, \text{dm}^3$

计算压缩功

等温压缩功公式为：
$W = nRT \ln \frac{V_1}{V_2} = 1 \cdot 8.314 \cdot 423 \cdot \ln \frac{35.1}{10} \approx 4.42 \times 10^3 \, \text{J}$

(2) 范德华气体情况

计算初始体积 $V_1$

通过范德华方程 $P = \frac{RT}{V - b} - \frac{a}{V^2}$，代入 $P = 10^5 \, \text{Pa}$，解得 $V_1 \approx 0.035 \, \text{m}^3$（与理想气体近似相同）。

数值积分求功

积分公式为：
$W = \int_{V_1}^{V_2} \left( \frac{RT}{V - b} - \frac{a}{V^2} \right) dV$
通过数值积分计算得：
$W \approx 4435 \, \text{J}$