题目
含0.20%碳的碳钢在927℃进行气体渗碳:假定表面碳含量增加到0.90%,试求距表面0.5mm处的碳含量达0.40%所需的时间:已知D 927℃=https:/img.zuoyebang.cc/zyb_9a150748f518ac26f559e51c6277a499.jpg.28times (10)^-11(m)^2/szerf（z）0.750.71120.80.74210.850.7707
含0.20%碳的碳钢在927℃进行气体渗碳:假定表面碳含量增加到0.90%,试求距表面0.5mm处的碳含量达0.40%所需的时间:已知D 927℃=
z
erf（z）
0.75
0.7112
0.8
0.7421
0.85
0.7707
题目解答
答案
解:根据
式中:
代入上式:
利用内插法可得:
因此:
解析
步骤 1：确定已知条件
已知条件包括碳钢的初始碳含量${c}_{0}=0.2\%$，表面碳含量${c}_{s}=0.9\%$，距离表面0.5mm处的碳含量${c}_{x}=0.4\%$，扩散系数$D=1.28\times {10}^{-11}{m}^{2}/s$。
步骤 2：应用菲克第二定律的解
根据菲克第二定律的解，碳含量随时间的变化可以用误差函数（erf）来描述，即
$$\dfrac {{c}_{s}-{c}_{x}}{{c}_{s}-{c}_{0}}=erf(\dfrac {x}{2\sqrt {Dt}})$$
其中，$x$是距离表面的距离，$t$是时间，$D$是扩散系数。
步骤 3：代入已知条件
将已知条件代入上述方程，得到
$$\dfrac {0.9-0.4}{0.9-0.2}=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
化简得到
$$\dfrac {0.5}{0.7}=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
$$0.7143=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
步骤 4：利用误差函数表求解
根据误差函数表，$erf(0.755)=0.7143$，因此
$$\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}}=0.755$$
解得
$$t=\dfrac {(0.5\times {10}^{-3})^2}{4\times 1.28\times {10}^{-11}\times 0.755^2}$$
$$t=8567s$$
$$t=143min$$
$$t=2.38h$$
已知条件包括碳钢的初始碳含量${c}_{0}=0.2\%$，表面碳含量${c}_{s}=0.9\%$，距离表面0.5mm处的碳含量${c}_{x}=0.4\%$，扩散系数$D=1.28\times {10}^{-11}{m}^{2}/s$。
步骤 2：应用菲克第二定律的解
根据菲克第二定律的解，碳含量随时间的变化可以用误差函数（erf）来描述，即
$$\dfrac {{c}_{s}-{c}_{x}}{{c}_{s}-{c}_{0}}=erf(\dfrac {x}{2\sqrt {Dt}})$$
其中，$x$是距离表面的距离，$t$是时间，$D$是扩散系数。
步骤 3：代入已知条件
将已知条件代入上述方程，得到
$$\dfrac {0.9-0.4}{0.9-0.2}=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
化简得到
$$\dfrac {0.5}{0.7}=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
$$0.7143=erf(\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}})$$
步骤 4：利用误差函数表求解
根据误差函数表，$erf(0.755)=0.7143$，因此
$$\dfrac {0.5\times {10}^{-3}}{2\sqrt {1.28\times {10}^{-11}t}}=0.755$$
解得
$$t=\dfrac {(0.5\times {10}^{-3})^2}{4\times 1.28\times {10}^{-11}\times 0.755^2}$$
$$t=8567s$$
$$t=143min$$
$$t=2.38h$$