题目
2.化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质，为保持车间的环境卫生，要通入大量的新鲜空气。假设有一个 30times 30times 12m^3的车间，其中空气中含有0.12%的CO_(2)，而新鲜空气中CO_(2)的含量为0.04%，为保证在10分钟后CO_(2)的含量不超过0.06%，问每分钟应通入多少m^3的空气？解：记t为时间变量y=y(t)为时刻t时的CO_(2)的浓度；a为每分钟通入的空气的数量，即通入空气的密度(m^3/min)；v为车间的总的体积(m^3)；y_(0)为开始时CO_(2)的浓度；g为新鲜空气中的CO_(2)浓度则v=10800，y_(0)=0.0012，g=0.0004.
2.化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质，为保持车间的环境卫生，要通入大量的新鲜空气。假设有一个$ 30\times 30\times 12m^{3}$的车间，其中空气中含有0.12%的$CO_{2}$，而新鲜空气中$CO_{2}$的含量为0.04%，为保证在10分钟后$CO_{2}$的含量不超过0.06%，问每分钟应通入多少$m^{3}$的空气？
解：记
t为时间变量
y=y(t)为时刻t时的$CO_{2}$的浓度；
a为每分钟通入的空气的数量，即通入空气的密度($m^{3}/min$)；
v为车间的总的体积($m^{3}$)；
$y_{0}$为开始时$CO_{2}$的浓度；
g为新鲜空气中的$CO_{2}$浓度
则v=10800，$y_{0}=0.0012$，g=0.0004.
题目解答
答案
设车间体积 $v = 10800 \, m^3$，初始 $CO_2$ 浓度 $y_0 = 0.0012$，新鲜空气浓度 $g = 0.0004$，通入空气密度为 $a \, m^3/min$。
车间内 $CO_2$ 浓度变化满足微分方程：
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{a}{v}(g - y)
\]
解得：
\[
y(t) = g + (y_0 - g)e^{-\frac{a}{v}t}
\]
要求 $t = 10$ 分钟时 $y(10) \leq 0.0006$，代入得：
\[
0.0004 + 0.0008e^{-\frac{10a}{10800}} \leq 0.0006
\]
解得：
\[
e^{-\frac{a}{108}} \leq \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad a \geq 108 \ln 4 \approx 149.688
\]
**答案：** 每分钟应通入至少 $\boxed{149.7}$ 立方米的空气。