将一块初始碳含量_(0)=0.2% 的软钢置于渗碳环境中2h，在这种情况下碳的表面含量_(0)=0.2% 。如果碳在钢中的扩散系数为_(0)=0.2% ，试求在钢件表面以下0.01cm，0.02cm和0.04cm处的含碳量各位多少？

本题考查非稳态扩散过程中碳浓度随深度的变化，需应用误差函数解。核心思路是：

1. 单位转换：将时间（小时→秒）、深度（厘米→米）统一；
2. 公式代入：利用浓度公式 $C(x,t)=C_0+(C_s-C_0)\cdot \text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$；
3. 误差函数计算：通过查表或计算工具确定 $\text{erf}$ 值，最终求出各深度处的碳含量。

单位转换

• 时间：$t=2\ \text{小时}=2 \times 3600 = 7200\ \text{秒}$；
• 深度：
  • $x_1=0.01\ \text{cm}=1 \times 10^{-4}\ \text{m}$；
  • $x_2=0.02\ \text{cm}=2 \times 10^{-4}\ \text{m}$；
  • $x_3=0.04\ \text{cm}=4 \times 10^{-4}\ \text{m}$。

计算公共参数

• 扩散系数：$D=1.0 \times 10^{-11}\ \text{m}^2/\text{s}$；
• 时间与扩散系数乘积：
  $\sqrt{Dt} = \sqrt{1.0 \times 10^{-11} \times 7200} = \sqrt{7.2 \times 10^{-8}} \approx 8.485 \times 10^{-4}\ \text{m}.$

各深度计算

$x_1=1 \times 10^{-4}\ \text{m}$

1. 计算误差函数参数：
   $\frac{x_1}{2\sqrt{Dt}} = \frac{1 \times 10^{-4}}{2 \times 8.485 \times 10^{-4}} \approx 0.0589.$
2. 查误差函数表：$\text{erf}(0.0589) \approx 0.066$；
3. 代入公式：
   $C_1 = 0.2\% + (0.8\% - 0.2\%) \times 0.066 \approx 0.24\%.$

$x_2=2 \times 10^{-4}\ \text{m}$

1. 计算误差函数参数：
   $\frac{x_2}{2\sqrt{Dt}} = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times 8.485 \times 10^{-4}} \approx 0.1178.$
2. 查误差函数表：$\text{erf}(0.1178) \approx 0.124$；
3. 代入公式：
   $C_2 = 0.2\% + (0.8\% - 0.2\%) \times 0.124 \approx 0.27\%.$

$x_3=4 \times 10^{-4}\ \text{m}$

1. 计算误差函数参数：
   $\frac{x_3}{2\sqrt{Dt}} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 8.485 \times 10^{-4}} \approx 0.236.$
2. 查误差函数表：$\text{erf}(0.236) \approx 0.258$；
3. 代入公式：
   $C_3 = 0.2\% + (0.8\% - 0.2\%) \times 0.258 \approx 0.35\%.$