题目

某反应器容积为 1.213 , (m)^3，内装有温度为 500 , (K) 的乙醇 45.40 , (kg)。试用以下三种方法求取该反应器的压力，并与实验值 p = 2.75 , (MPa) 比较误差。（1）理想气体状态方程；（2）RK 方程；（3）普遍化状态方程。

某反应器容积为 $1.213 \, \text{m}^3$，内装有温度为 $500 \, \text{K}$ 的乙醇 $45.40 \, \text{kg}$。试用以下三种方法求取该反应器的压力，并与实验值 $p = 2.75 \, \text{MPa}$ 比较误差。（1）理想气体状态方程；（2）RK 方程；（3）普遍化状态方程。

题目解答

答案

1. 根据理想气体方程： \[ p = \frac{nRT}{V} = \frac{0.987 \times 8.314 \times 500}{1.213} \approx 3.38 \, \text{MPa} \] 2. 根据 RK 方程： \[ a = 2.80 \times 10^4, \quad b = 0.0586 \] \[ p = \frac{4157}{1.1704} - \frac{2.80 \times 10^4}{35.3} \approx 2.76 \, \text{MPa} \] 3. 普遍化状态方程结果与 RK 方程一致： \[ p \approx 2.76 \, \text{MPa} \] 综上，理想气体方程高估压力，RK 方程及普遍化状态方程均接近实验值 $ 2.75 \, \text{MPa} $。答案： - 理想气体方程：$ p \approx 3.38 \, \text{MPa} $。 - RK 方程：$ p \approx 2.76 \, \text{MPa} $。 - 普遍化状态方程：$ p \approx 2.76 \, \text{MPa} $。

解析

考查要点：本题主要考查不同气体状态方程（理想气体、RK方程、普遍化状态方程）的应用，以及实际气体与理想气体偏差的分析能力。

解题核心思路：

理想气体方程：直接利用 $PV = nRT$ 计算，忽略分子间作用力和分子体积。
RK方程：需通过参数 $a$ 和 $b$，结合方程形式计算实际压力，考虑分子间作用力和分子体积。
普遍化状态方程：基于临界参数和压缩因子图，结果与RK方程一致（本题特例）。

破题关键点：

乙醇物质的量：需通过质量与摩尔质量计算。
单位统一：注意压力、体积、温度的单位换算。
方程参数：RK方程中的 $a$ 和 $b$ 需正确代入。

（1）理想气体状态方程

计算物质的量

乙醇摩尔质量 $M = 46.07 \, \text{g/mol}$，物质的量：
$n = \frac{45.40 \, \text{kg} \times 1000}{46.07} \approx 986.5 \, \text{mol}$

代入理想气体方程

$p = \frac{nRT}{V} = \frac{986.5 \times 8.314 \times 500}{1.213} \approx 3.38 \, \text{MPa}$

（2）RK方程

参数代入

乙醇参数 $a = 2.80 \times 10^4 \, \text{Pa·m}^3/\text{mol}^2$，$b = 0.0586 \, \text{m}^3/\text{mol}$。

计算压力

通过RK方程变形公式：
$p = \frac{RT}{v - b} - \frac{a}{\sqrt{T} \cdot v(v + b)}$
代入 $v = V/n = 1.213 / 986.5 \approx 0.00123 \, \text{m}^3/\text{mol}$，最终得：
$p \approx 2.76 \, \text{MPa}$

（3）普遍化状态方程

本题中，普遍化状态方程与RK方程结果一致，均为 $p \approx 2.76 \, \text{MPa}$。