立方最密堆积、六方最密堆积和体心立方密堆积都是最密堆积,三者的空间占有率是一样的。A. 正确B. 错误

本题考查晶体堆积结构中空间占有率的相关知识。解题思路是分别明确立方最密堆积、六方最密堆积和体心立方密堆积的结构特点，然后根据结构特点计算它们各自的空间占有率，最后比较这三种堆积方式的空间占有率是否相同。

1. 立方最密堆积（面心立方堆积，ccp）

• 面心立方晶胞中，原子位于立方体的八个顶点和六个面的中心。
• 设原子半径为$r$，面对角线上原子是紧密接触的，面对角线长度为$4r$。若晶胞边长为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=(4r)^{2}$，即$2a^{2}=16r^{2}$，可得$a = 2\sqrt{2}r$。
• 一个面心立方晶胞中含有的原子数$n$：顶点原子每个贡献$\frac{1}{8}$，面心原子每个贡献$\frac{1}{2}$，则$n=8\times\frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2}=4$。
• 晶胞体积$V_{cell}=a^{3}=(2\sqrt{2}r)^{3}=16\sqrt{2}r^{3}$。
• 一个原子的体积$V_{atom}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，那么$4$个原子的体积$V_{4atoms}=4\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}$。
• 空间占有率$P_{ccp}=\frac{V_{4atoms}}{V_{cell}}=\frac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 74\%$。

2. 六方最密堆积（hcp）

• 六方最密堆积的晶胞可以看作是由两个简单六方晶胞组成。
• 设原子半径为$r$，底面边长$a = 2r$，高$c=\sqrt{\frac{8}{3}}a = 2\sqrt{\frac{2}{3}}a=2\sqrt{\frac{2}{3}}\times2r=\frac{4\sqrt{6}}{3}r$。
• 一个六方最密堆积晶胞中含有的原子数$n$：顶点原子每个贡献$\frac{1}{6}$，上下底面中心原子各贡献$1$个，内部有$3$个原子，则$n = 12\times\frac{1}{6}+2\times1 + 3=6$。
• 晶胞体积$V_{cell}=S\times c$，其中底面面积$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\times6=\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2r)^{2}\times6 = 6\sqrt{3}r^{2}$，所以$V_{cell}=6\sqrt{3}r^{2}\times\frac{4\sqrt{6}}{3}r=24\sqrt{2}r^{3}$。
• $6$个原子的体积$V_{6atoms}=6\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}$。
• 空间占有率$P_{hcp}=\frac{V_{6atoms}}{V_{cell}}=\frac{8\pi r^{3}}{24\sqrt{2}r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 74\%$。

3. 体心立方密堆积（bcc）

• 体心立方晶胞中，原子位于立方体的八个顶点和体心。
• 体对角线上原子是紧密接触的，体对角线长度为$4r$。若晶胞边长为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}+a^{2}=(4r)^{3}$，即$3a^{2}=16r^{2}$，可得$a=\frac{4}{\sqrt{3}}r$。
• 一个体心立方晶胞中含有的原子数$n$：顶点原子每个贡献$\frac{1}{8}$，体心原子贡献$1$个，则$n=8\times\frac{1}{8}+1 = 2$。
• 晶胞体积$V_{cell}=a^{3}=(\frac{4}{\sqrt{3}}r)^{3}=\frac{64}{3\sqrt{3}}r^{3}$。
• $2$个原子的体积$V_{2atoms}=2\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}$。
• 空间占有率$P_{bcc}=\frac{V_{2atoms}}{V_{cell}}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^{3}}{\frac{64}{3\sqrt{3}}r^{3}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{8}\approx 68\%$。

通过计算可知，立方最密堆积和六方最密堆积的空间占有率约为$74\%$，而体心立方密堆积的空间占有率约为$68\%$，三者空间占有率不一样。