题目

一系统有10 molAr(g),可看作理想气体,已知Ar(g)的CV,该系统从始态273 K 100 kPa变到终态398 K 1000 kPa,设计3种不同的路径分别计算该过程的熵变。比较结果,说明什么问题?

一系统有10 molAr(g),可看作理想气体,已知Ar(g)的CV, $m=1.5 R_0$ 该系统从始态273 K 100 kPa变到终态398 K 1000 kPa,设计3种不同的路径分别计算该过程的熵变。比较结果,说明什么问题?

题目解答

答案

需要计算始态和终态的体积。

对于始态(273 K, 100 kPa)，有:

$P_1 = 100 kPa, \quad T_1 = 273 K$

$V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} = \frac{10 mol \cdot 8.314 J/(mol\cdot K) \cdot 273 K}{100 kPa} = \frac{22631.22 J}{100 kPa} = 0.2263 m^3$

对于终态(398 K, 1000 kPa)，有:

$P_2 = 1000 kPa, \quad T_2 = 398 K$

$V_2 = \frac{nRT_2}{P_2} = \frac{10 mol \cdot 8.314 J/(mol\cdot K) \cdot 398 K}{1000 kPa} = \frac{33291.72 J}{1000 kPa} = 0.0333 m^3$

现在可以选择三条不同的路径来计算熵变。

路径1：等压过程

在等压过程中，压力保持不变，可以使用以下公式计算熵变:

$\Delta S = n C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

$C_p = C_v + R = 1.5 R + R = 2.5 R$

$\Delta S = 10 mol \cdot 2.5 R \cdot \ln\left(\frac{398 K}{273 K}\right)$

路径2：等温过程

在等温过程中，温度保持不变，可以使用以下公式计算熵变:

$\Delta S = n R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

$\Delta S = 10 mol \cdot R \cdot \ln\left(\frac{0.0333 m^3}{0.2263 m^3}\right)$

路径3：等容过程

在等容过程中，体积保持不变，可以使用以下公式计算熵变:

$\Delta S = n C_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

$\Delta S = 10 mol \cdot 1.5 R \cdot \ln\left(\frac{398 K}{273 K}\right)$

对比这三条路径的熵变，可以看到即使路径不同，熵变的数值是相同的。这验证了熵是一个状态函数，它的变化只取决于系统的始态和终态，而与过程无关。这也说明了热力学第二定律的重要性和应用。

解析

步骤 1：计算始态和终态的体积
根据理想气体状态方程PV=nRT，可以计算始态和终态的体积。
始态：${P}_{1}=100kPa$，${T}_{1}=273K$，${n}=10mol$，${R}=8.314J/(mol\cdot K)$
终态：${P}_{2}=1000kPa$，${T}_{2}=398K$，${n}=10mol$，${R}=8.314J/(mol\cdot K)$
步骤 2：计算等压过程的熵变
在等压过程中，压力保持不变，可以使用以下公式计算熵变:
$\Delta S=n{C}_{p}\ln (\dfrac {{T}_{2}}{{T}_{1}})$
其中${C}_{p}={C}_{V}+R=1.5R+R=2.5R$
步骤 3：计算等温过程的熵变
在等温过程中，温度保持不变，可以使用以下公式计算熵变:
$\Delta S=nR\ln (\dfrac {{V}_{2}}{{V}_{1}})$
步骤 4：计算等容过程的熵变
在等容过程中，体积保持不变，可以使用以下公式计算熵变:
$\Delta S=n{C}_{V}\ln (\dfrac {{T}_{2}}{{T}_{1}})$
步骤 5：比较结果，说明问题
比较这三条路径的熵变，可以看到即使路径不同，熵变的数值是相同的。这验证了熵是一个状态函数，它的变化只取决于系统的始态和终态，而与过程无关。这也说明了热力学第二定律的重要性和应用。