已知:当退火后纯铁的晶粒大小为16个/mm2时,屈服强度σs=100MPa;当晶粒大小为4096个/mm2时,σs=250MPa,试求晶粒大小为256个/mm2时,屈服强度σs的值。

考查要点：本题主要考查Hall-Petch公式的应用，涉及晶粒尺寸与屈服强度的关系。关键在于将晶粒数量转换为晶粒直径，并正确代入公式求解材料常数，最终计算目标晶粒尺寸下的屈服强度。

解题思路：

1. 晶粒尺寸转换：根据晶粒数量（个/mm²）计算单个晶粒的面积，进而求出等效圆的直径。
2. 建立方程组：利用已知的两组晶粒尺寸和屈服强度数据，代入Hall-Petch公式，解出基体强度$\sigma_0$和材料常数$K$。
3. 代入求解：将目标晶粒尺寸代入公式，计算对应的屈服强度。

破题关键：

• 晶粒直径计算：通过等面积圆公式$d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}$，将晶粒数量转化为直径。
• 方程联立：通过两组数据消去$\sigma_0$，求出$K$，再回代求$\sigma_0$。

1. 晶粒直径计算

晶粒数量为$N$个/mm²时，单个晶粒面积$A = \frac{1}{N}$ mm²。等效圆直径为：
$d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4}{N\pi}} = \frac{2}{\sqrt{N\pi}}$

• 当$N_1 = 16$时：
  $d_1 = \frac{2}{\sqrt{16\pi}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$
• 当$N_2 = 4096$时：
  $d_2 = \frac{2}{\sqrt{4096\pi}} = \frac{1}{32\sqrt{\pi}}$
• 当$N_3 = 256$时：
  $d_3 = \frac{2}{\sqrt{256\pi}} = \frac{1}{8\sqrt{\pi}}$

2. 建立方程组

根据Hall-Petch公式$\sigma_s = \sigma_0 + K d^{-1/2}$，代入已知数据：

• 当$d_1$时：
  $100 = \sigma_0 + K \left(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\right)^{-1/2} \quad \text{（化简后）}$
• 当$d_2$时：
  $250 = \sigma_0 + K \left(\frac{1}{32\sqrt{\pi}}\right)^{-1/2} \quad \text{（化简后）}$

3. 解方程求参数

• 消去$\sigma_0$：两式相减得：
  $150 = K \left( \sqrt{32\sqrt{\pi}} - \sqrt{2\sqrt{\pi}} \right)$
  化简后解得：
  $K = 25\sqrt{2} \cdot \pi^{-1/4}$
• 求$\sigma_0$：代入任一方程，得：
  $\sigma_0 = 50 \, \text{MPa}$

4. 计算目标晶粒尺寸下的屈服强度

当$d_3 = \frac{1}{8\sqrt{\pi}}$时：
$\sigma_s = 50 + 25\sqrt{2} \cdot \pi^{-1/4} \cdot \left(\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\right)^{-1/2}$
化简后得：
$\sigma_s = 150 \, \text{MPa}$