晶格常数为 a 的面心立方晶格,原胞体积 Ω 等于A. 2a 2B. a 3C. a 3 /2D. a 3 /4

本题考查面心立方晶格的原胞体积计算，关键是明确原胞与晶胞的区别及原胞体积的求解方法。

步骤1：回顾面心立方的晶胞与原胞

面心立方（FCC）的晶胞是边长为$a$的立方体，包含4个原子（8个顶点各1/8+6个面心各1/2：$8\times\frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2}=4$）。
原胞是晶体中最小的重复单元，对于FCC，原胞是菱形六格（平行六面体），其基矢可由晶胞基矢表示：
设晶胞基矢为$\vec{a}_1=a\hat{x}$、$\vec{a}_2=a\hat{y}$、$\vec{a}_3=a\hat{z}$，则FCC原胞基矢为：
$\vec{b}_1=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}),)？\quad \text{纠正：正确基矢为}\quad \vec{b}_1=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}),\quad \vec{b}_2=\frac{a}{2}(\hat{y}+\hat{z}),\quad \vec{b}_3=\frac{a}{2}(\hat{z}+\hat{x})$

步骤2：计算原胞体积$\Omega$

原胞体积等于基矢混合积的绝对值：
$\Omega=|\vec{b}_1\cdot(\vec{b}_2\times\vec{b}_3)|$

计算叉积$\vec{b}_2\times\vec{b}_3$

$\vec{b}_2\times\vec{b}_3=\left[\frac{a}{2}(\hat{y}+\hat{z})\right]\times\left[\frac{a}{2}(\hat{z}+\hat{x})\right]=\frac{a^2}{4}\left[(\hat{y}\times\hat{z})+(\hat{y}\times\hat{x})+(\hat{z}\times\hat{z})+(\hat{z}\times\hat{x})\right]$
利用$\hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}$、$\hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}$、$\hat{z}\times\hat{z}=0$、$\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$，得：
$\vec{b}_2\times\vec{b}_3=\frac{a^2}{4}(\hat{x}-\hat{z}+\hat{y})$

计算点积$\vec{b}_1\cdot(\vec{b}_2\times\vec{b}_3)$

$\vec{b}_1\cdot(\vec{b}_2\times\vec{b}_3)=\left[\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y})\right]\cdot\left[\frac{a^2}{4}(\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})\right]=\frac{a^3}{8}\left[(\hat{x}\cdot\hat{x})+(\hat{x}\cdot\hat{y})+(\hat{y}\cdot\hat{x})+(\hat{y}\cdot\hat{y})-(\hat{y}\cdot\hat{z})\right]$
利用$\hat{x}\cdot\hat{x}=\hat{y}\cdot\hat{y}=1$、其他点积为0，得：
$\vec{b}_1\cdot(\vec{b}_2\times\vec{b}_3)=\frac{a^3}{8}(1+0+0+1-0)=\frac{a^3}{4}$

取绝对值得原胞体积

$\Omega=\left|\frac{a^3}{4}\right|=\frac{a^3}{4}$

步骤3：验证选项

选项D为$\frac{a^3}{4}$，与计算结果一致。