6对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足其中a为立方边长。

考查要点：本题主要考查简单立方晶格中密勒指数与晶面面间距的关系，需要结合倒格子的概念进行推导。

解题核心思路：

1. 倒格子与晶面间距的关系：利用倒格矢的模长与晶面间距的倒数关系（$d = \frac{2\pi}{| \mathbf{G}_{hkl} |}$）。
2. 倒格矢的计算：根据简单立方晶格的正格子基矢，确定倒格子基矢的表达式，进而计算其模长。

破题关键点：

• 倒格子基矢的正交性：简单立方的倒格子基矢互相正交，可直接用勾股定理计算模长。
• 密勒指数的几何意义：密勒指数$(h,k,l)$对应倒格矢的分量，需正确代入公式。

步骤1：确定倒格子基矢

简单立方晶格的正格子基矢为 $\mathbf{a}_1 = a\hat{x}$，$\mathbf{a}_2 = a\hat{y}$，$\mathbf{a}_3 = a\hat{z}$。
倒格子基矢 $\mathbf{G}_{hkl}$ 的表达式为：
$\mathbf{G}_{hkl} = \frac{2\pi h}{a} \hat{x} + \frac{2\pi k}{a} \hat{y} + \frac{2\pi l}{a} \hat{z}.$

步骤2：计算倒格矢的模长

倒格矢的模长为：
$| \mathbf{G}_{hkl} | = \sqrt{\left( \frac{2\pi h}{a} \right)^2 + \left( \frac{2\pi k}{a} \right)^2 + \left( \frac{2\pi l}{a} \right)^2 } = \frac{2\pi}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}.$

步骤3：推导面间距公式

根据倒格矢与面间距的关系 $d = \frac{2\pi}{| \mathbf{G}_{hkl} |}$，代入模长表达式：
$d = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}.$