题目

某同学在学习等径球最密堆积(立方最密堆积 A1 和六方最密堆积 A3)后，提出了另一种最密堆积形式 Ax。如右图所示为 Ax 堆积的片层形式，然后第二层就堆积在第一层的空隙上。请根据 Ax 的堆积形式回答:(1)计算在片层结构中(如图所示)球数、空隙数和切点数之比 (2)在 Ax 堆积中将会形成正八面体空隙和正四面体空隙。确定球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比 (3)指出 Ax 堆积中小球的配位数 (4)计算 Ax 堆积的原子空间利用率。(5)正八面体和正四面体空隙半径(可填充小球的最大半径，设等径小球的半径为 r)。(6)已知金属 Ni 晶体结构为 Ax 堆积形式，Ni 原子半径为 124.6pm，计算金属 Ni 的密度。(Ni 的相对原子质量为 58.70)(7)如果 CuH 晶体中 Cu+的堆积形式为 Ax 型，H−填充在空隙中，且配位数是 4。则 H−填充的是哪一类空隙，占有率是多少？(8)当该同学将这种 Ax 堆积形式告诉老师时，老师说 Ax 就是 A1 或 A3 的某一种。你认为是哪一种，为什么？

某同学在学习等径球最密堆积(立方最密堆积 A1 和六方最密堆积 A3)后，提出了另一种最密堆积形式 Ax。如右图所示为 Ax 堆积的片层形式，然后第二层就堆积在第一层的空隙上。请根据 Ax 的堆积形式回答:

(1)

计算在片层结构中(如图所示)球数、空隙数和切点数之比            

(2)

在 Ax 堆积中将会形成正八面体空隙和正四面体空隙。确定球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比            

(3)

指出 Ax 堆积中小球的配位数            

(4)

计算 Ax 堆积的原子空间利用率。

(5)

正八面体和正四面体空隙半径(可填充小球的最大半径，设等径小球的半径为 r)。

(6)

已知金属 Ni 晶体结构为 Ax 堆积形式，Ni 原子半径为 124.6pm，计算金属 Ni 的密度。(Ni 的相对原子质量为 58.70)

(7)

如果 CuH 晶体中 Cu+的堆积形式为 Ax 型，H−填充在空隙中，且配位数是 4。则 H−填充的是哪一类空隙，占有率是多少？

(8)

当该同学将这种 Ax 堆积形式告诉老师时，老师说 Ax 就是 A1 或 A3 的某一种。你认为是哪一种，为什么？

题目解答

答案

  • (1)
    1:1:2
  • (2)
    1:1:2
  • (3)
    12
  • (4)

    74.05%

    以 4 个相邻小球中心构成底面，空隙上小球的中心为上底面的中心构成正四棱柱，设小球半径为 r，则正四棱柱边长为2r，高为√2r，共包括 1 个小球(4 个 1/4，1 个 1/2)，空 间利用率为4πr3/3(2r)2√2r

  • (5)

    正八面体空隙为0.414r，正四面体空隙为0.225r。

  • (6)

    8.91g/cm3

    根据第(4)题，正四棱柱质量为 58.70/NAg，体积为1.094×10−23cm3。

  • (7)

    H−填充在正四面体空隙，占有率为 50% 正四面体为 4 配位，正八面体为 6 配位，且正四面体空隙数为小球数的 2 倍。

  • (8)

    Ax 就是 A1，取一个中心小球周围的 4 个小球的中心为顶点构成正方形，然后上面再取两层，就是顶点面心的堆积形式。底面一层和第三层中心小球是面心，周围四小球是顶点， 第二层四小球(四个空隙上)是侧面心。 也可以以相邻四小球为正方形边的中点(顶点为正八面体空隙)，再取两层，构成与上面同样大小的正方体，小球位于体心和棱心，实际上与顶点面心差 1/2 单位。

解析

步骤 1：确定片层结构中的球数
在片层结构中，每个球都与周围的球接触，形成一个二维的平面结构。根据图示，可以确定每个球周围有 6 个空隙，因此球数为 1。
步骤 2：确定片层结构中的空隙数
每个球周围有 6 个空隙，因此空隙数为 1。
步骤 3：确定片层结构中的切点数
每个球与周围的球接触，形成切点。每个球周围有 6 个切点，因此切点数为 2。
【答案】
1:1:2
(2) 在 Ax 堆积中将会形成正八面体空隙和正四面体空隙。确定球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比
【解析】
步骤 1：确定正八面体空隙数
在 Ax 堆积中，每个球周围有 6 个空隙，其中 2 个是正八面体空隙，因此正八面体空隙数为 1。
步骤 2：确定正四面体空隙数
在 Ax 堆积中，每个球周围有 6 个空隙，其中 4 个是正四面体空隙，因此正四面体空隙数为 2。
【答案】
1:1:2
(3) 指出 Ax 堆积中小球的配位数
【解析】
步骤 1：确定配位数
在 Ax 堆积中，每个球周围有 12 个球，因此配位数为 12。
【答案】
12
(4) 计算 Ax 堆积的原子空间利用率
【解析】
步骤 1：确定正四棱柱的边长和高
以 4 个相邻小球中心构成底面，空隙上小球的中心为上底面的中心构成正四棱柱，设小球半径为 r，则正四棱柱边长为 2r，高为 √2r。
步骤 2：计算正四棱柱的体积
正四棱柱体积为 (2r)^2 * √2r = 4√2r^3。
步骤 3：计算正四棱柱中包含的小球体积
正四棱柱中包含 1 个小球(4 个 1/4，1 个 1/2)，小球体积为 4πr^3/3。
步骤 4：计算空间利用率
空间利用率为 (4πr^3/3) / (4√2r^3) = π / (3√2) ≈ 0.7405。
【答案】
74.05%
(5) 正八面体和正四面体空隙半径(可填充小球的最大半径，设等径小球的半径为 r)
【解析】
步骤 1：确定正八面体空隙半径
正八面体空隙半径为 0.414r。
步骤 2：确定正四面体空隙半径
正四面体空隙半径为 0.225r。
【答案】
正八面体空隙为 0.414r，正四面体空隙为 0.225r。
(6) 已知金属 Ni 晶体结构为 Ax 堆积形式，Ni 原子半径为 124.6pm，计算金属 Ni 的密度。(Ni 的相对原子质量为 58.70)
【解析】
步骤 1：计算正四棱柱的质量
正四棱柱质量为 58.70/NAg。
步骤 2：计算正四棱柱的体积
正四棱柱体积为 1.094×10−23cm3。
步骤 3：计算金属 Ni 的密度
金属 Ni 的密度为 (58.70/NAg) / (1.094×10−23cm3) ≈ 8.91g/cm3。