题目
实心圆轴的直径 d=100mm ,长 l=1m ,其两端所受外力偶矩 _(e)=14kNcdot m ,材料-|||-的切变模量 G=80GPa 。试求:-|||-(1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角;-|||-(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;-|||-(3)C点处的切应变。-|||-Me-|||-A-|||-C B-|||-0 5-|||-M。 25
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算最大切应力
最大切应力出现在圆轴的外表面，其计算公式为：
${T}_{max}=\frac{{M}_{e}d}{2I}$
其中，${M}_{e}$为外力偶矩，$d$为圆轴直径，$I$为圆轴的极惯性矩。对于实心圆轴，极惯性矩的计算公式为：
$I=\frac{\pi d^{4}}{32}$
将已知数据代入公式计算：
${T}_{max}=\frac{14\times {10}^{3}\times 100\times {10}^{-3}}{2\times \frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
${T}_{max}=71.4MPa$
步骤 2：计算两端截面间的相对扭转角
相对扭转角的计算公式为：
$\varphi =\frac{{M}_{e}l}{GI}$
其中，$l$为圆轴长度，$G$为材料的切变模量。将已知数据代入公式计算：
$\varphi =\frac{14\times {10}^{3}\times 1}{80\times {10}^{9}\times \frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
$\varphi =1.02^{\circ}$
步骤 3：计算A、B、C三点处切应力的数值及方向
A、B两点位于圆轴的外表面，切应力与最大切应力相同，方向垂直于半径指向圆心。C点位于圆轴的半径为25mm处，切应力计算公式为：
${T}_{C}=\frac{{M}_{e}r}{I}$
其中，$r$为C点到圆心的距离。将已知数据代入公式计算：
${T}_{C}=\frac{14\times {10}^{3}\times 25\times {10}^{-3}}{\frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
${T}_{C}=35.7MPa$
步骤 4：计算C点处的切应变
切应变的计算公式为：
${r}_{C}=\frac{{T}_{C}}{G}$
将已知数据代入公式计算：
${r}_{C}=\frac{35.7\times {10}^{6}}{80\times {10}^{9}}$
${r}_{C}=0.446\times {10}^{-3}$
最大切应力出现在圆轴的外表面，其计算公式为：
${T}_{max}=\frac{{M}_{e}d}{2I}$
其中，${M}_{e}$为外力偶矩，$d$为圆轴直径，$I$为圆轴的极惯性矩。对于实心圆轴，极惯性矩的计算公式为：
$I=\frac{\pi d^{4}}{32}$
将已知数据代入公式计算：
${T}_{max}=\frac{14\times {10}^{3}\times 100\times {10}^{-3}}{2\times \frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
${T}_{max}=71.4MPa$
步骤 2：计算两端截面间的相对扭转角
相对扭转角的计算公式为：
$\varphi =\frac{{M}_{e}l}{GI}$
其中，$l$为圆轴长度，$G$为材料的切变模量。将已知数据代入公式计算：
$\varphi =\frac{14\times {10}^{3}\times 1}{80\times {10}^{9}\times \frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
$\varphi =1.02^{\circ}$
步骤 3：计算A、B、C三点处切应力的数值及方向
A、B两点位于圆轴的外表面，切应力与最大切应力相同，方向垂直于半径指向圆心。C点位于圆轴的半径为25mm处，切应力计算公式为：
${T}_{C}=\frac{{M}_{e}r}{I}$
其中，$r$为C点到圆心的距离。将已知数据代入公式计算：
${T}_{C}=\frac{14\times {10}^{3}\times 25\times {10}^{-3}}{\frac{\pi \times (100\times {10}^{-3})^{4}}{32}}$
${T}_{C}=35.7MPa$
步骤 4：计算C点处的切应变
切应变的计算公式为：
${r}_{C}=\frac{{T}_{C}}{G}$
将已知数据代入公式计算：
${r}_{C}=\frac{35.7\times {10}^{6}}{80\times {10}^{9}}$
${r}_{C}=0.446\times {10}^{-3}$