处于平衡状态下的某气体，分子总数为 N，这 N 个分子的速率均分布在 0 到 v_0 之间，遵从的速率分布函数为 f(v) = 6 (v(v_0 - v))/(v_0^3)，则该气体中分子速率分布在 0 到 (v_0)/(3) 之间的分子数为（ ）。(A) (N)/(3)(B) (7N)/(27)(C) (5N)/(17)(D) (9N)/(29)

本题考查分子速率分布函数的应用，核心在于理解速率分布函数的物理意义，并能正确计算特定速率区间内的分子数。解题的关键点如下：

1. 速率分布函数 $f(v)$ 的定义：$\Delta N = N \int_{v_1}^{v_2} f(v) \, dv$，表示速率在 $[v_1, v_2]$ 区间内的分子数。
2. 积分区间为 $0$ 到 $\frac{v_0}{3}$，需正确代入函数 $f(v) = \frac{6v(v_0 - v)}{v_0^3}$ 并计算定积分。
3. 积分运算需展开多项式并逐项积分，注意代数运算的准确性。

步骤 1：写出分子数公式

根据速率分布函数的定义，速率在 $0$ 到 $\frac{v_0}{3}$ 之间的分子数为：
$\Delta N = N \int_0^{\frac{v_0}{3}} f(v) \, dv = N \int_0^{\frac{v_0}{3}} \frac{6v(v_0 - v)}{v_0^3} \, dv$

步骤 2：展开被积函数

将被积函数展开：
$\frac{6}{v_0^3} \int_0^{\frac{v_0}{3}} (v_0 v - v^2) \, dv$

步骤 3：逐项积分

分别对 $v_0 v$ 和 $-v^2$ 积分：

1. 第一项：
   $\int_0^{\frac{v_0}{3}} v_0 v \, dv = v_0 \cdot \frac{v^2}{2} \Big|_0^{\frac{v_0}{3}} = v_0 \cdot \frac{v_0^2}{18} = \frac{v_0^3}{18}$
2. 第二项：
   $\int_0^{\frac{v_0}{3}} v^2 \, dv = \frac{v^3}{3} \Big|_0^{\frac{v_0}{3}} = \frac{v_0^3}{81}$

步骤 4：合并积分结果

将两项结果相减：
$\frac{v_0^3}{18} - \frac{v_0^3}{81} = \frac{9v_0^3}{162} - \frac{2v_0^3}{162} = \frac{7v_0^3}{162}$

步骤 5：计算最终分子数

代入分子数公式：
$\Delta N = \frac{6N}{v_0^3} \cdot \frac{7v_0^3}{162} = \frac{7N}{27}$