题目
六角空间晶格。六角空间晶格的初基平移矢量可以取为:[boldsymbol(a)_1 = (3^1/2a/2)hat(x) + (a/2)hat(y); boldsymbol(a)_2 = - (3^1/2a/2)hat(x) + (a/2)hat(y); boldsymbol(a)_3 = chat(z)](a) 证明原胞的体积为 (3^1/2/2)a^2c。(b) 证明倒格子的初基平移矢量为:[boldsymbol(b)_1 = (2pi/3^1/2a)hat(x) + (2pi/a)hat(y); boldsymbol(b)_2 = - (2pi/3^1/2a)hat(x) + (2pi/a)hat(y);][boldsymbol(b)_3 = (2pi/c)hat(z)]因此正格子就是它本身的倒格子，但轴经过了转动。
六角空间晶格。六角空间晶格的初基平移矢量可以取为: $\boldsymbol{a}_1 = (3^{1/2}a/2)\hat{x} + (a/2)\hat{y}; \quad \boldsymbol{a}_2 = - (3^{1/2}a/2)\hat{x} + (a/2)\hat{y}; \quad \boldsymbol{a}_3 = c\hat{z}$ (a) 证明原胞的体积为 $(3^{1/2}/2)a^2c$。 (b) 证明倒格子的初基平移矢量为: $\boldsymbol{b}_1 = (2\pi/3^{1/2}a)\hat{x} + (2\pi/a)\hat{y}; \quad \boldsymbol{b}_2 = - (2\pi/3^{1/2}a)\hat{x} + (2\pi/a)\hat{y};$ $\boldsymbol{b}_3 = (2\pi/c)\hat{z}$ 因此正格子就是它本身的倒格子，但轴经过了转动。
题目解答
答案
(a) 原胞体积为：
\[
V = \mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2c
\]
(b) 倒格子的初基平移矢量为：
\[
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{\sqrt{3}a} \hat{x} + \frac{2\pi}{a} \hat{y}, \quad \mathbf{b}_2 = -\frac{2\pi}{\sqrt{3}a} \hat{x} + \frac{2\pi}{a} \hat{y}, \quad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{c} \hat{z}
\]
正格子与倒格子均为六角晶格，但轴方向不同，体现了晶格的对称性。