题目
对一维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限。
对一维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限。
题目解答
答案
解:按照德拜模型,格波的色散关系为
。有色散曲线的对称性得,
区间对应两个同样大小的波矢区间dq。
区间对应
个振动模式,单位波矢区间对应有
个振动模式。
范围则包含
个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为
再利用
,
式中N为原子总数,a为晶格常数,得
根据《固体物理教程》(3.119)式得其热容量
作变量变换 
,
得 
,其中 
.
在高位时,x是小量,上式中被积函数
。
因此,晶格的高温热容量 
.
在甚低温时,
中的被积函数按二项式定理展成级数
。
则积分
。
由此得到低温时晶格的热容量 
解析
步骤 1：德拜模型的色散关系
德拜模型假设声子的色散关系为线性关系，即 $bA=CD$。这意味着声子的能量与频率成正比，频率与波矢成正比。
步骤 2：模式密度的计算
根据德拜模型，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度。通过计算单位波矢区间包含的振动模式数，可以得到模式密度 $D(\omega)$。对于一维简单格子，模式密度为 $D(\omega) = \frac{L}{\pi V}$，其中 $L$ 是晶格长度，$V$ 是体积。
步骤 3：晶格热容的计算
晶格热容可以通过积分模式密度与声子能量的函数来计算。在德拜模型中，晶格热容的表达式为 ${C}_{v}=\frac{L{{K}_{B}}^{2}T}{\pi hv}{\int }_{0}^{\theta v}\dfrac {{e}^{x}{x}^{2}dx}{{({e}^{x}-1)}^{2}}$，其中 ${\theta }_{D}=\frac{h{\omega }_{0}}{{k}_{B}}$ 是德拜温度。
步骤 4：高温极限下的晶格热容
在高温极限下，即温度远高于德拜温度时，晶格热容趋于一个常数，即 ${C}_{v}=N{k}_{B}$，其中 $N$ 是原子总数，${k}_{B}$ 是玻尔兹曼常数。
步骤 5：低温极限下的晶格热容
在低温极限下，即温度远低于德拜温度时，晶格热容与温度的三次方成正比，即 ${C}_{V}=\frac{L\pi {{R}_{B}}^{2}T}{3hV}$。
德拜模型假设声子的色散关系为线性关系，即 $bA=CD$。这意味着声子的能量与频率成正比，频率与波矢成正比。
步骤 2：模式密度的计算
根据德拜模型，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度。通过计算单位波矢区间包含的振动模式数，可以得到模式密度 $D(\omega)$。对于一维简单格子，模式密度为 $D(\omega) = \frac{L}{\pi V}$，其中 $L$ 是晶格长度，$V$ 是体积。
步骤 3：晶格热容的计算
晶格热容可以通过积分模式密度与声子能量的函数来计算。在德拜模型中，晶格热容的表达式为 ${C}_{v}=\frac{L{{K}_{B}}^{2}T}{\pi hv}{\int }_{0}^{\theta v}\dfrac {{e}^{x}{x}^{2}dx}{{({e}^{x}-1)}^{2}}$，其中 ${\theta }_{D}=\frac{h{\omega }_{0}}{{k}_{B}}$ 是德拜温度。
步骤 4：高温极限下的晶格热容
在高温极限下，即温度远高于德拜温度时，晶格热容趋于一个常数，即 ${C}_{v}=N{k}_{B}$，其中 $N$ 是原子总数，${k}_{B}$ 是玻尔兹曼常数。
步骤 5：低温极限下的晶格热容
在低温极限下，即温度远低于德拜温度时，晶格热容与温度的三次方成正比，即 ${C}_{V}=\frac{L\pi {{R}_{B}}^{2}T}{3hV}$。