题目

对含碳量 w(C)=0.1% 的钢表面进行渗碳强化处理，渗碳时，钢所接触的高温气氛使钢表面的碳浓度最高达到 w(C)=1.2%。然后，碳向钢表面内部扩散。为了获得最佳性能，钢必须在其表面下 0.2 , (cm) 深处具有的碳含量为 w(C)=0.45%，如果扩散系数是 2 times 10^-7 , (cm)^2/(s)，试求渗碳工序需要多长时间？

对含碳量 $w(C)=0.1\%$ 的钢表面进行渗碳强化处理，渗碳时，钢所接触的高温气氛使钢表面的碳浓度最高达到 $w(C)=1.2\%$。然后，碳向钢表面内部扩散。为了获得最佳性能，钢必须在其表面下 $0.2 \, \text{cm}$ 深处具有的碳含量为 $w(C)=0.45\%$，如果扩散系数是 $2 \times 10^{-7} \, \text{cm}^2/\text{s}$，试求渗碳工序需要多长时间？

题目解答

答案

根据扩散方程： \[ C(x, t) = C_s - (C_s - C_0) \, \text{erf}\left( \frac{x}{2\sqrt{Dt}} \right) \] 将 $ C(x, t) = 0.45\% $、$ C_s = 1.2\% $、$ C_0 = 0.1\% $、$ x = 0.2 \, \text{cm} $、$ D = 2 \times 10^{-7} \, \text{cm}^2/\text{s} $ 代入，得： \[ \text{erf}\left( \frac{0.2}{2\sqrt{Dt}} \right) = 0.6818 \] 查表得 $ \text{erf}(0.65) \approx 0.6818 $，故： \[ \frac{0.2}{2\sqrt{Dt}} = 0.65 \implies \sqrt{Dt} = \frac{0.2}{1.3} \approx 0.1538 \] \[ t = \frac{(0.1538)^2}{2 \times 10^{-7}} = 118350 \, \text{s} \approx 32.9 \, \text{h} \] 最终结果：渗碳工序需约 32.9 小时。 答案：约 32.9 小时。

解析

本题主要考察菲克第二定律在固体扩散问题中的应用，具体涉及误差函数（erf）的相关计算，用于求解渗碳工艺所需时间。

关键知识点与解题思路

固体中溶质的扩散（如渗碳）通常符合菲克第二定律的解，对于半无限大物体（钢的厚度远大于渗碳深度，可近似为半无限大），其浓度分布公式为：
$C(x, t) = C_s - (C_s - C_0) \cdot \text{erf}\left( \frac{x}{2\sqrt{Dt}} \right)$
式中：

  • $C(x, t)$：$t$时刻、深度$x$处的碳浓度（0.45%）；
  • $C_s$：表面碳浓度（1.2%）；
  • $C_0$：初始碳浓度（0.1%）；
  • $D$：扩散系数（$2 \times 10^{-7} \, \text{cm}^2/\text{s}$）；
  • $x$：渗碳深度（0.2 cm）；
  • $\text{erf}(z)$：误差函数，$z = \frac{x}{2\sqrt{Dt}}$。

具体计算步骤

  1. 代入浓度数据，求解误差函数值
    将已知条件代入浓度公式：
    $0.45 = 1.2 - (1.2 - 0.1) \cdot \text{erf}\}$
    化简得：
    $1.2 - 0.45 = 1.1 \cdot \text{erf}(z) \implies \text{erf}(z) = \frac{0.75}{1.1} \approx 0.6818$

  2. 查误差函数表确定$z$值
    误差函数表中，$\text{erf}(0.65) \approx 0.6818$，故$z = 0.65$。

  3. 求解$t$
    由$z = \frac{x}{2\sqrt{Dt}}$，得：
    $\sqrt{Dt} = \frac{x}{2z} = \frac{0.2}{2 \times 0.65} = \frac{0.2}{1.3} \approx 0.1538 \, \text{cm}$
    平方后除以$D$：
    $t = \frac{(\sqrt{Dt})^2}{D} = \frac{(0.1538)^2}{2 \times 10^{-7}} \approx 118350 \, \text{s}$
    换算为小时：
    $t \approx \frac{118350}{3600} \approx 32.9 \, \text{h}$