题目
求图示单元体的: (1)图示斜截面上的应力;(2)主方向和主应力,画出主单元体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。100MPa-|||-60MPa-|||-50MPa-|||-30° 50MPa-|||-x-|||-n-|||-60MPa 100MPa
求图示单元体的: (1)图示斜截面上的应力;
(2)主方向和主应力,画出主单元体;
(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。
题目解答
答案
解:
(1)、斜截面上的正应力和切应力:
(2)、主方向及主应力:最大主应力在第一象限中,对应的角度为
,则主应力为:
(3)、主切应力作用面的法线方向:
主切应力为:
此两截面上的正应力为:
,主单元体如图3-2所示。
图3-1
图3-2
解析
步骤 1：计算斜截面上的应力
根据平面应力状态下的应力变换公式，可以计算出斜截面上的正应力和切应力。对于给定的斜截面，其角度为30°，可以使用以下公式计算：
${\sigma }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$
${\tau }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\theta -{\tau }_{xy}\cos 2\theta$
其中，${\sigma }_{x}=100MPa$，${\sigma }_{y}=-50MPa$，${\tau }_{xy}=60MPa$，$\theta =30°$。
步骤 2：计算主方向和主应力
主应力可以通过求解特征方程得到，特征方程为：
$\left|{\sigma }_{x}-\sigma \right|\left|{\sigma }_{y}-\sigma \right|-\left|{\tau }_{xy}\right|^{2}=0$
解得主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$，以及主方向${\alpha }_{1}$和${\alpha }_{3}$。
步骤 3：计算主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力
主切应力作用平面的位置可以通过求解${\tau }_{max}$得到，${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$，其作用平面的法线方向为${\alpha }_{2}={\alpha }_{1}+45°$。该平面上的正应力为${\sigma }_{2}=\frac{{\sigma }_{1}+{\sigma }_{3}}{2}$。
根据平面应力状态下的应力变换公式，可以计算出斜截面上的正应力和切应力。对于给定的斜截面，其角度为30°，可以使用以下公式计算：
${\sigma }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$
${\tau }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\theta -{\tau }_{xy}\cos 2\theta$
其中，${\sigma }_{x}=100MPa$，${\sigma }_{y}=-50MPa$，${\tau }_{xy}=60MPa$，$\theta =30°$。
步骤 2：计算主方向和主应力
主应力可以通过求解特征方程得到，特征方程为：
$\left|{\sigma }_{x}-\sigma \right|\left|{\sigma }_{y}-\sigma \right|-\left|{\tau }_{xy}\right|^{2}=0$
解得主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$，以及主方向${\alpha }_{1}$和${\alpha }_{3}$。
步骤 3：计算主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力
主切应力作用平面的位置可以通过求解${\tau }_{max}$得到，${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$，其作用平面的法线方向为${\alpha }_{2}={\alpha }_{1}+45°$。该平面上的正应力为${\sigma }_{2}=\frac{{\sigma }_{1}+{\sigma }_{3}}{2}$。