五、已知一点处的应力状态单元体如图所示,应力单位为Mpa,试求:(1)该点处的主应力及主应力方向;(2)在单元体上画出主平面方位及主应力方向。

考查要点：本题主要考查平面应力状态下主应力的计算及主平面方位的确定方法，需要掌握主应力公式和主平面方向公式的应用。

解题核心思路：

1. 主应力是主平面上的正应力，此时切应力为零。通过解二次方程或直接代入公式求解。
2. 主平面方向由切应力为零的条件确定，需利用方向角公式计算。

破题关键点：

• 正确代入公式：主应力公式 $\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$。
• 方向角公式：$\tan 2\alpha = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$，注意根据应力符号判断主平面实际方位。

已知条件

假设题目中应力分量为：
$\sigma_x = -4\ \text{MPa},\ \sigma_y = 12\ \text{MPa},\ \tau_{xy} = 6\ \text{MPa}$。

(1) 计算主应力

代入主应力公式

$\begin{aligned}\sigma_{1,2} &= \frac{-4 + 12}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-4 - 12}{2} \right)^2 + 6^2} \\&= 4 \pm \sqrt{(-8)^2 + 6^2} \\&= 4 \pm 10 \\\end{aligned}$
解得：
$\sigma_1 = 14\ \text{MPa},\ \sigma_2 = -6\ \text{MPa}$。

(2) 确定主平面方向

计算方向角

$\tan 2\alpha = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} = \frac{2 \times 6}{-4 - 12} = -\frac{3}{4}$
解得：
$2\alpha = \arctan(-\frac{3}{4}) \approx -36.9^\circ$ 或 $180^\circ - 36.9^\circ = 143.1^\circ$，
故 $\alpha \approx -18.45^\circ$ 或 $71.55^\circ$。

判断主平面实际方位

由于 $\sigma_x < \sigma_y$，主平面应取较大的角度 $\alpha = 71.55^\circ$（与原坐标系x轴正方向夹角）。