题目
→→→-|||-a,b,c为简单正交格子的基矢,试证明晶面族(h k l)的晶 面间距为→→→-|||-a,b,c
为简单正交格子的基矢,试证明晶面族(h k l)的晶 面间距为
题目解答
答案
解:
由
知
可得:
再由
中
和
的关系:
可得:
得证。
解析
步骤 1：定义基矢量
设简单正交格子的基矢量为 $\overrightarrow{a} = a\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{b} = b\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{c} = c\overrightarrow{k}$，其中 $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ 是标准正交基。
步骤 2：计算晶格体积
晶格体积 $V = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = abc$。
步骤 3：计算倒格子基矢量
根据倒格子基矢量的定义，有：
$\overrightarrow{a^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \frac{2\pi}{abc} (bc\overrightarrow{i}) = \frac{2\pi}{a}\overrightarrow{i}$，
$\overrightarrow{b^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = \frac{2\pi}{abc} (ca\overrightarrow{j}) = \frac{2\pi}{b}\overrightarrow{j}$，
$\overrightarrow{c^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = \frac{2\pi}{abc} (ab\overrightarrow{k}) = \frac{2\pi}{c}\overrightarrow{k}$。
步骤 4：计算晶面族(h k l)的倒格矢量
晶面族(h k l)的倒格矢量为 $\overrightarrow{k} = h\overrightarrow{a^*} + k\overrightarrow{b^*} + l\overrightarrow{c^*} = \frac{2\pi}{a}h\overrightarrow{i} + \frac{2\pi}{b}k\overrightarrow{j} + \frac{2\pi}{c}l\overrightarrow{k}$。
步骤 5：计算晶面族(h k l)的晶面间距
晶面族(h k l)的晶面间距 $d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\overrightarrow{k}|} = \frac{2\pi}{\sqrt{(\frac{2\pi}{a}h)^2 + (\frac{2\pi}{b}k)^2 + (\frac{2\pi}{c}l)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{h}{a})^2 + (\frac{k}{b})^2 + (\frac{l}{c})^2}}$。
设简单正交格子的基矢量为 $\overrightarrow{a} = a\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{b} = b\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{c} = c\overrightarrow{k}$，其中 $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ 是标准正交基。
步骤 2：计算晶格体积
晶格体积 $V = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = abc$。
步骤 3：计算倒格子基矢量
根据倒格子基矢量的定义，有：
$\overrightarrow{a^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \frac{2\pi}{abc} (bc\overrightarrow{i}) = \frac{2\pi}{a}\overrightarrow{i}$，
$\overrightarrow{b^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = \frac{2\pi}{abc} (ca\overrightarrow{j}) = \frac{2\pi}{b}\overrightarrow{j}$，
$\overrightarrow{c^*} = \frac{2\pi}{V} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = \frac{2\pi}{abc} (ab\overrightarrow{k}) = \frac{2\pi}{c}\overrightarrow{k}$。
步骤 4：计算晶面族(h k l)的倒格矢量
晶面族(h k l)的倒格矢量为 $\overrightarrow{k} = h\overrightarrow{a^*} + k\overrightarrow{b^*} + l\overrightarrow{c^*} = \frac{2\pi}{a}h\overrightarrow{i} + \frac{2\pi}{b}k\overrightarrow{j} + \frac{2\pi}{c}l\overrightarrow{k}$。
步骤 5：计算晶面族(h k l)的晶面间距
晶面族(h k l)的晶面间距 $d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\overrightarrow{k}|} = \frac{2\pi}{\sqrt{(\frac{2\pi}{a}h)^2 + (\frac{2\pi}{b}k)^2 + (\frac{2\pi}{c}l)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{h}{a})^2 + (\frac{k}{b})^2 + (\frac{l}{c})^2}}$。