对含碳0.1%的碳钢工件在900℃进行渗碳处理。表面保持1.2%C的渗碳气氛。要求距工件表面0.2 cm处含碳0.45%,已知碳在奥氏体中扩散系数。计算:(1)、渗碳时间;(2)、如果要求距工件表面0.3 cm处含碳0.45%,渗碳时间延长多少倍;(3)、如果是纯铁,渗碳温度为800℃,示意画出工件相分布与碳浓度分布。

本题主要考查扩散第二定律在渗碳问题中的应用，通过已知的碳浓度分布和扩散系数等条件，利用误差函数来计算渗碳时间，并分析不同渗碳条件下的相分布与碳浓度分布。

（1）计算渗碳时间

已知扩散第二定律的表达式为$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}=1 - \text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})$，其中$C_s$为表面碳浓度，$C_x$为距表面$x$处的碳浓度，$C_0$为工件初始碳浓度，$D$为扩散系数，$t$为扩散时间。
题目中$C_0 = 0.1\%$，$C_s = 1.2\%$，$C_x = 0.45\%$，$x = 0.2\mathrm{cm}$。
首先计算$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}$的值：
$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}=\frac{1.2 - 0.45}{1.2 - 0.1}=\frac{0.75}{1.1}\approx0.6818$
则$1 - \text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})=0.6818$，即$\text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})=1 - 0.6818 = 0.3182$。
通过查阅误差函数表，可得$\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\approx0.28$。
将$x = 0.2\mathrm{cm}$代入上式，得到$\frac{0.2}{2\sqrt{Dt}} = 0.28$，进一步变形可得$\sqrt{Dt}=\frac{0.2}{2\times0.28}=\frac{0.2}{0.56}$。
两边同时平方可得$Dt = (\frac{0.2}{0.56})^2$，则$t=\frac{(\frac{0.2}{0.56})^2}{D}$。
由于题目未给出碳在奥氏体中扩散系数$D$的值，假设$D$已知，将其代入上式即可求出渗碳时间$t$。

（2）计算渗碳时间延长的倍数

当$x = 0.3\mathrm{cm}$，$C_x = 0.45\%$，$C_0 = 0.1\%$，$C_s = 1.2\%$时，同样先计算$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}$的值：
$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}=\frac{1.2 - 0.45}{1.2 - 0.1}=\frac{0.75}{1.1}\approx0.6818$
则$1 - \text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt_1}})=0.6818$，即$\text{erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt_1}})=1 - 0.6818 = 0.3182$。
通过查阅误差函数表，可得$\frac{x}{2\sqrt{Dt_1}}\approx0.28$。
将$x = 0.3\mathrm{cm}$代入上式，得到$\frac{0.3}{2\sqrt{Dt_1}} = 0.28$，进一步变形可得$\sqrt{Dt_1}=\frac{0.3}{2\times0.28}=\frac{0.3}{0.56}$。
两边同时平方可得$Dt_1 = (\frac{0.3}{0.56})^2$，则$t_1=\frac{(\frac{0.3}{0.56})^2}{D}$。
渗碳时间延长的倍数为$\frac{t_1}{t}=\frac{\frac{(\frac{0.3}{0.56})^2}{D}}{\frac{(\frac{0.2}{0.56})^2}{D}} = (\frac{0.3}{0.2})^2 = 2.25$倍。

（3）示意画出工件相分布与碳浓度分布

纯铁在$800^{\circ}C$时处于奥氏体相区。

• 碳浓度分布：表面碳浓度为$1.2\%$，随着距表面距离的增加，碳浓度逐渐降低，直至达到纯铁的初始碳浓度$0\%$。
• 相分布：由于整个工件在$800^{\circ}C$时都处于奥氏体相区，所以相分布为单一的奥氏体相。