题目
7-9 求图示各应力状态的主应力、最大切应力以及它们的作用面的方位。-|||-40 MPa-|||-50MPa-|||-Ii 80MPa 1 50MPa-|||-20MPa-|||-r 7-|||-50MPa-|||-(a) (b)-|||-题 7-9 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力状态
对于(a)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=80MPa$ , ${\sigma }_{y}=20MPa$ , ${\sigma }_{z}=40MPa$ , ${\tau }_{xy}=50MPa$ , ${\tau }_{yz}=0MPa$ , ${\tau }_{zx}=0MPa$。
对于(b)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=50MPa$ , ${\sigma }_{y}=50MPa$ , ${\sigma }_{z}=-50MPa$ , ${\tau }_{xy}=0MPa$ , ${\tau }_{yz}=0MPa$ , ${\tau }_{zx}=0MPa$。
步骤 2：计算主应力
对于(a)图，主应力可以通过求解特征方程得到。特征方程为：$det(\sigma I - \sigma_{ij}) = 0$，其中$\sigma_{ij}$是应力张量，$\sigma$是主应力。对于(a)图，主应力为：${\sigma }_{1}=88.3MPa$ , ${\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=31.7MPa$。
对于(b)图，由于应力张量是对角矩阵，主应力直接为：${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=-50MPa$。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力计算得到。对于(a)图，最大切应力为：${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=28.3MPa$。
对于(b)图，最大切应力为：${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=50MPa$。
步骤 4：确定主应力作用面的方位
对于(a)图，主应力作用面的方位可以通过求解应力张量的特征向量得到。对于(a)图，由x逆时针转22.5°至σ1。
对于(b)图，由于应力张量是对角矩阵，主应力作用面的方位为：${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}$方向为x-y平面，${\sigma }_{3}$方向为z轴方向。
对于(a)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=80MPa$ , ${\sigma }_{y}=20MPa$ , ${\sigma }_{z}=40MPa$ , ${\tau }_{xy}=50MPa$ , ${\tau }_{yz}=0MPa$ , ${\tau }_{zx}=0MPa$。
对于(b)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=50MPa$ , ${\sigma }_{y}=50MPa$ , ${\sigma }_{z}=-50MPa$ , ${\tau }_{xy}=0MPa$ , ${\tau }_{yz}=0MPa$ , ${\tau }_{zx}=0MPa$。
步骤 2：计算主应力
对于(a)图，主应力可以通过求解特征方程得到。特征方程为：$det(\sigma I - \sigma_{ij}) = 0$，其中$\sigma_{ij}$是应力张量，$\sigma$是主应力。对于(a)图，主应力为：${\sigma }_{1}=88.3MPa$ , ${\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=31.7MPa$。
对于(b)图，由于应力张量是对角矩阵，主应力直接为：${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=-50MPa$。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力计算得到。对于(a)图，最大切应力为：${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=28.3MPa$。
对于(b)图，最大切应力为：${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=50MPa$。
步骤 4：确定主应力作用面的方位
对于(a)图，主应力作用面的方位可以通过求解应力张量的特征向量得到。对于(a)图，由x逆时针转22.5°至σ1。
对于(b)图，由于应力张量是对角矩阵，主应力作用面的方位为：${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}$方向为x-y平面，${\sigma }_{3}$方向为z轴方向。