证明晶格常数为a的简单立方晶格,证明密勒指数为的晶面系,面间距为 .

考查要点：本题主要考查简单立方晶格的密勒指数与面间距的关系，涉及倒格矢的计算和面间距公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定原胞基矢：简单立方晶格的基矢为正交单位向量，长度均为$a$。
2. 计算倒格子基矢：利用倒格子基矢公式$b_i = \frac{2\pi}{V} \mathbf{a}_j \times \mathbf{a}_k$，其中$V$为原胞体积。
3. 构造倒格矢：根据密勒指数$(hkl)$，写出倒格矢$\mathbf{G}$的表达式。
4. 应用面间距公式：通过$d = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}$直接计算面间距。

破题关键：正确推导倒格矢的模长，并代入面间距公式。

1. 原胞基矢与倒格子基矢

简单立方晶格的原胞基矢为：
$\mathbf{a}_1 = a\hat{x}, \quad \mathbf{a}_2 = a\hat{y}, \quad \mathbf{a}_3 = a\hat{z}$
原胞体积为$V = a^3$。根据倒格子基矢公式：
$\mathbf{b}_i = \frac{2\pi}{V} \mathbf{a}_j \times \mathbf{a}_k$
计算得：
$\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a^3} (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) = \frac{2\pi}{a} \hat{x}, \quad \mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a} \hat{y}, \quad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{a} \hat{z}$

2. 倒格矢的表达式

密勒指数$(hkl)$对应的倒格矢为：
$\mathbf{G} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{a}(h\hat{x} + k\hat{y} + l\hat{z})$

3. 面间距的计算

面间距公式为：
$d = \frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}$
计算$\mathbf{G}$的模长：
$|\mathbf{G}| = \frac{2\pi}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$
代入公式得：
$d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$