回答下列问题:(1) 在立方晶系的晶胞内画出具有下列密勒指数的晶面和晶向:(001)与[210],(111)与,与[111],与[123],与[236]。(2) 在立方晶系的一个晶胞中画出(111)和(112)晶面,并写出两晶面交线的晶向指数。(3) 在立方晶系的一个晶胞中画出同时位于(101),(011),(112)晶面上的晶向。

考查要点：本题主要考查立方晶系中晶面指数（密勒指数）和晶向指数的确定方法，以及晶面与晶面交线的晶向指数计算。

解题核心思路：

1. 晶面指数：通过晶面在晶轴上的截距确定，取倒数后化简为最简整数比，注意符号表示。
2. 晶向指数：通过晶向在晶轴上的位移确定，取最简整数比，注意方向与晶轴的正负方向对应。
3. 晶面交线：两晶面的交线方向由两晶面法向量的叉乘方向确定，最终化简为晶向指数。

破题关键点：

• 立方晶系对称性：立方晶系中晶面和晶向的对称性简化了计算。
• 符号规则：晶面指数中负号用上划线表示（如$\overline{1}$），晶向指数中负号直接写出（如$[1\overline{1}0]$）。

第（2）题

确定晶面位置

1. (111)晶面：截距为$(1,1,1)$，经过立方体顶点$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$。
2. (112)晶面：截距为$(1,1,2)$，经过点$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,0.5)$。

计算交线方向

1. 法向量叉乘：
   • (111)晶面法向量为$(1,1,1)$，(112)晶面法向量为$(1,1,2)$。
   • 叉乘结果为：
     $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{k} = (1,-1,0)$
2. 化简晶向指数：方向向量$(1,-1,0)$化简为$[1\overline{1}0]$或$[110]$（等效方向）。

第（3）题

寻找公共晶向

1. 分析晶面关系：
   • (101)晶面：法向量为$(1,0,1)$，晶向需满足$x+z=0$（如$[10\overline{1}]$）。
   • (011)晶面：法向量为$(0,1,1)$，晶向需满足$y+z=0$（如$[01\overline{1}]$）。
   • (112)晶面：法向量为$(1,1,2)$，晶向需满足$x+y+2z=0$。
2. 联立方程求解：
   • 联立$x+z=0$、$y+z=0$，得$x=y=-z$。
   • 代入$x+y+2z=0$，得$(-z)+(-z)+2z=0$，恒成立。
   • 取$z=1$，则$x=y=-1$，晶向为$[\overline{1}\overline{1}1]$（或等效方向）。