题目
健康中国2030规划纲要要求居民每天体育活动时间不少于1小时现在对某地区900名居民进行调查测得平均体育运动时间45分钟标准差10分钟试问该地区居民体育活动时间是否符合健康中国战略要求。
健康中国2030规划纲要要求居民每天体育活动时间不少于1小时现在对某地区900名居民进行调查测得平均体育运动时间45分钟标准差10分钟试问该地区居民体育活动时间是否符合健康中国战略要求。
题目解答
答案
解：
原假设：
v.s. 备择假设：
由题可知如下信息：
选取如下统计量及其分布：
对应统计量的值为：
这里未给出显著性水平，这里选取显著性水平0.1，对应的置信度为0.90，则拒绝域为：
显然统计量落于拒绝域内，因此拒绝原假设，说明该地区居民体育活动时间不满足健康中国战略要求。
解析
步骤 1：定义假设
- 原假设（$H_0$）：该地区居民每天体育活动时间不少于1小时，即$\mu \geq 60$分钟。
- 备择假设（$H_1$）：该地区居民每天体育活动时间少于1小时，即$\mu < 60$分钟。
步骤 2：确定样本信息
- 样本容量（$n$）：900名居民
- 样本平均体育运动时间（$\overline{x}$）：45分钟
- 样本标准差（$s$）：10分钟
步骤 3：选择检验统计量
- 由于样本容量较大（$n=900$），可以使用正态分布近似，选择$z$检验统计量。
- $z$检验统计量的计算公式为：$z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$，其中$\mu_0$为原假设中的平均值，即60分钟。
步骤 4：计算检验统计量的值
- 将样本信息代入公式：$z = \frac{45 - 60}{\frac{10}{\sqrt{900}}} = \frac{-15}{\frac{10}{30}} = \frac{-15}{\frac{1}{3}} = -45$。
步骤 5：确定显著性水平和临界值
- 选择显著性水平$\alpha = 0.05$，对应单侧检验的临界值$z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量$z = -45$小于临界值$z_{\alpha} = -1.645$，因此拒绝原假设。
步骤 7：得出结论
- 拒绝原假设，说明该地区居民体育活动时间不满足健康中国战略要求。
- 原假设（$H_0$）：该地区居民每天体育活动时间不少于1小时，即$\mu \geq 60$分钟。
- 备择假设（$H_1$）：该地区居民每天体育活动时间少于1小时，即$\mu < 60$分钟。
步骤 2：确定样本信息
- 样本容量（$n$）：900名居民
- 样本平均体育运动时间（$\overline{x}$）：45分钟
- 样本标准差（$s$）：10分钟
步骤 3：选择检验统计量
- 由于样本容量较大（$n=900$），可以使用正态分布近似，选择$z$检验统计量。
- $z$检验统计量的计算公式为：$z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$，其中$\mu_0$为原假设中的平均值，即60分钟。
步骤 4：计算检验统计量的值
- 将样本信息代入公式：$z = \frac{45 - 60}{\frac{10}{\sqrt{900}}} = \frac{-15}{\frac{10}{30}} = \frac{-15}{\frac{1}{3}} = -45$。
步骤 5：确定显著性水平和临界值
- 选择显著性水平$\alpha = 0.05$，对应单侧检验的临界值$z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量$z = -45$小于临界值$z_{\alpha} = -1.645$，因此拒绝原假设。
步骤 7：得出结论
- 拒绝原假设，说明该地区居民体育活动时间不满足健康中国战略要求。