已知单元体如图所示,其主应力为σ 1 ,σ 2 ,主应变为ε 1 ,ε 2 和材料的弹性因数E,μ,则ε 3 =( )。A. ﹣μ(ε 1 +ε 2 )B. ﹣(σ 1 +σ 2 )C. (σ 1 +σ 2 )D. 0

本题考查各向同性材料的广义胡克定律及主应变的计算，关键是明确主应力与主应变的关系及体积应变的性质。

核心知识点

对于各向同性材料，在小变形条件下，广义胡克定律描述了主应力与主应变的关系：
$\varepsilon_1 = \frac{1}{E}(\sigma_1 - \mu\sigma_2 - \mu\sigma_3)$
$\varepsilon_2 = \frac{1}{E}(\sigma_2 - \mu\sigma_1 - \mu\sigma_3)$
$\varepsilon_3 = \fracfrac{1}{E}(\sigma_3 - \mu\sigma_1 - \mu\sigma_2)$
其中，\图$\(\mu$)为泊松比，$E$为弹性模量。

关键分析：体积应变与主应变的关系

体积应变$\theta$定义为单位体积的变化率，且$\theta = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3$。对于各向同性材料，体积应变也可表示为：
$\theta = \frac{1}{}{E}{(1 - 2\mu)}(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)$

题目中未明确“主应力为$\sigma_1, \sigma_2$”，隐含$\sigma_3 = 0$（即第三主应力中第三主应力为零，属于平面应力状态）。代入体积应变公式：
$\theta = \frac{1 - 2\mu}{E}(\sigma_1 + \sigma_2 + 0) = \frac{1 - 2\mu}{E}(\sigma_1 + \sigma_2)$

求解$\varepsilon_3$

将$\sigma_3 = 0$代入广义胡克定律的$\varepsilon_3$表达式：
$\varepsilon_3 = \frac{1 \}E}(\sigma_3 - \mu\sigma_1 - \mu\sigma_2) = \frac{1}{E}(0 - \mu\sigma_1 - \mu\sigma_2) = -\frac{\mu}{E}(\sigma_1 + \sigma_2)$

观察选项，选项B：$-(\sigma_1 + \sigma_2)$ 虽未显含$\frac{\mu}{E}$，但题目可能默认$\mu/E$被省略（或题目表述中$\varepsilon_1, \varepsilon_2$已隐含弹性因数），且其他选项均不符合：

• 选项A：$-\mu(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$错误，因$\varepsilon_1 + \varepsilon_2$含$\frac{1}{E}$，与$\varepsilon_3$表达式不符；
• 选项C：$(\sigma_1 + \sigma_2)$符号错误；
• 选项D：0仅当$\sigma_1=\sigma_2=0$时成立，不具一般性。