题目
8-4 已知单元体应力状态如图所示,图中应力单位皆为 /(m)^2, 试用解析法和图解法-|||-求:(1)主应力大小、主平面位置。(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向,(3)二向应力-|||-状态下的tmax,(4)三向应力状态下的最大剪应力。-|||-20 25-|||- 50 square 20 square -|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-20 180 30-|||-square 40 square 20 square 20-|||-40-|||-20-|||-(d) (e) (f)-|||-题 8-4 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力和主平面位置
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的位置。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。对于二维应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来找到主应力和主平面的位置。
步骤 2：计算主应力
对于二维应力状态，主应力可以通过以下公式计算：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}±\sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是作用在 x 和 y 方向上的正应力，${\tau }_{xy}$ 是作用在 x 和 y 方向上的剪应力。
步骤 3：计算主平面位置
主平面的位置可以通过以下公式计算：
${\theta }_{0}=\frac{1}{2}\mathrm{arctan}\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
其中，${\theta }_{0}$ 是主平面相对于 x 轴的旋转角度。
步骤 4：计算最大剪应力
最大剪应力可以通过以下公式计算：
${\tau }_{max}=\sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
其中，${\tau }_{max}$ 是最大剪应力。
步骤 5：绘制主平面位置及主应力方向
在单元体上，根据计算得到的主应力和主平面位置，绘制出主平面位置及主应力方向。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的位置。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。对于二维应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来找到主应力和主平面的位置。
步骤 2：计算主应力
对于二维应力状态，主应力可以通过以下公式计算：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}±\sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是作用在 x 和 y 方向上的正应力，${\tau }_{xy}$ 是作用在 x 和 y 方向上的剪应力。
步骤 3：计算主平面位置
主平面的位置可以通过以下公式计算：
${\theta }_{0}=\frac{1}{2}\mathrm{arctan}\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
其中，${\theta }_{0}$ 是主平面相对于 x 轴的旋转角度。
步骤 4：计算最大剪应力
最大剪应力可以通过以下公式计算：
${\tau }_{max}=\sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
其中，${\tau }_{max}$ 是最大剪应力。
步骤 5：绘制主平面位置及主应力方向
在单元体上，根据计算得到的主应力和主平面位置，绘制出主平面位置及主应力方向。