题目
构件上某点单元立方体的应力状态如图 -58 所示(应力单位为MPa)。材料的弹性-|||-模量 E=200GPa ,泊松比为 v=0.3 ,试求:(1)三个主应力;(2)最大剪应力;(3)三个主-|||-应变;(4)体积应变;(5)分别按最大拉应力理论,最大拉应变理论,最大剪应力理论及形-|||-状改变比能量理论求相当应力。[浙江大学2006研] 4y 30-|||-40-|||-50 →90-|||-一 x-|||-图 7-58
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定三个主应力
对于图示应力状态，已知σ2为主应力，其他两个主应力可由 xy 平面内的σx, σxy, σy求出。由公式 ${\sigma }_{1,2}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\sigma }_{xy}^{2}}$ 可得： ${\sigma }_{1}=110MPa$ , ${\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=10MPa$ 。
步骤 2：计算最大剪应力
最大剪应力 ${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=50MPa$ 。
步骤 3：计算三个主应变
由广义胡克定律得： ${\varepsilon }_{1}=\dfrac {1}{E}[ {\sigma }_{1}-v({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})] =4.6\times {10}^{-4}$ ，同理： ${\varepsilon }_{2}=7\times {10}^{-5}$ ， ${\varepsilon }_{3}=-1.9\times {10}^{-4}$ 。
步骤 4：计算体积应变
体积应变 $\theta ={\varepsilon }_{1}+{\varepsilon }_{2}+{\varepsilon }_{3}=3.4\times {10}^{-4}$ 。
步骤 5：计算四种理论的相当应力
①最大拉应力理论： ${\sigma }_{r1}={\sigma }_{1}=110MPa$ 。
②最大拉应变理论： ${\sigma }_{r2}={\sigma }_{1}-v({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})=92MPa$ 。
③最大剪应力理论： ${\sigma }_{r3}={\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}=100MPa$ 。
④形状改变比能量理论： ${\sigma }_{r4}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})}^{2}+{({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})}^{2}+{({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})}^{2}] }=100MPa$ 。
对于图示应力状态，已知σ2为主应力，其他两个主应力可由 xy 平面内的σx, σxy, σy求出。由公式 ${\sigma }_{1,2}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\sigma }_{xy}^{2}}$ 可得： ${\sigma }_{1}=110MPa$ , ${\sigma }_{2}=50MPa$ , ${\sigma }_{3}=10MPa$ 。
步骤 2：计算最大剪应力
最大剪应力 ${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=50MPa$ 。
步骤 3：计算三个主应变
由广义胡克定律得： ${\varepsilon }_{1}=\dfrac {1}{E}[ {\sigma }_{1}-v({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})] =4.6\times {10}^{-4}$ ，同理： ${\varepsilon }_{2}=7\times {10}^{-5}$ ， ${\varepsilon }_{3}=-1.9\times {10}^{-4}$ 。
步骤 4：计算体积应变
体积应变 $\theta ={\varepsilon }_{1}+{\varepsilon }_{2}+{\varepsilon }_{3}=3.4\times {10}^{-4}$ 。
步骤 5：计算四种理论的相当应力
①最大拉应力理论： ${\sigma }_{r1}={\sigma }_{1}=110MPa$ 。
②最大拉应变理论： ${\sigma }_{r2}={\sigma }_{1}-v({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})=92MPa$ 。
③最大剪应力理论： ${\sigma }_{r3}={\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}=100MPa$ 。
④形状改变比能量理论： ${\sigma }_{r4}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})}^{2}+{({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})}^{2}+{({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})}^{2}] }=100MPa$ 。