题目

已知：45钢的sigma_(-1)=270mathrm(MPa)，寿命指数m=9，循环[1]基数N_(0)=10^7。求：（1）循环次数分别为8000和620000次时的有限寿命疲劳极限sigma_(-1N)；（2）应力幅为330mathrm(MPa)的对称循环应力作用下的疲劳寿命。

已知：45钢的$\sigma_{-1}=270\mathrm{MPa}$，寿命指数$m=9$，循环[1]基数$N_{0}=10^{7}$。求：（1）循环次数分别为8000和620000次时的有限寿命疲劳极限$\sigma_{-1N}$；（2）应力幅为330$\mathrm{MPa}$的对称循环应力作用下的疲劳寿命。

题目解答

答案

1. 根据公式 $\sigma_{-1N} = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$： - 当 $N = 8000$ 时，$\sigma_{-1N} = 270 \times (1250)^{\frac{1}{9}} \approx 270 \times 2.209 \approx 596.4\,\text{MPa}$。 - 当 $N = 620000$ 时，$\sigma_{-1N} = 270 \times (16.129)^{\frac{1}{9}} \approx 270 \times 1.362 \approx 367.7\,\text{MPa}$。 2. 根据公式 $N = N_0 \left( \frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a} \right)^m$： \[ N = 10^7 \times \left( \frac{270}{330} \right)^9 = 10^7 \times (0.8182)^9 \approx 10^7 \times 0.168 = 1.68 \times 10^6\,\text{次} \] 最终结果： 1. $N = 8000$ 时，$\sigma_{-1N} \approx 596.4\,\text{MPa}$； 2. $N = 620000$ 时，$\sigma_{-1N} \approx 367.7\,\text{MPa}$； 3. $\sigma_a = 330\,\text{MPa}$ 时，$N \approx 1.68 \times 10^6\,\text{次}$。

解析

本题主要考察材料力学中疲劳极限与疲劳寿命的计算，涉及到有限寿命疲劳极限公式和疲劳寿命公式的应用。解题的关键在于理解并正确运用这两个公式，根据已知条件进行相应的计算。

（1）计算循环次数分别为8000和620000次时的有限寿命疲劳极限$\sigma_{-1N}$

有限寿命疲劳极限的计算公式为：$\sigma_{-1N} = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$，其中$\sigma_{-1}$是材料的对称循环疲劳极限，$N_0$是循环基数，$N$是实际循环次数，$m$是寿命指数。

  • 当$N = 8000$时：
    • 首先计算$\frac{N_0}{N}$的值，将$N_0 = 10^{7}$，$N = 8000$代入可得：$\frac{N_0}{N}=\frac{10^{7}}{8000}=1250$。
    • 然后计算$\left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$的值，将$m = 9$代入可得：$\left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}=1250^{\frac{1}{9}}\approx2.209$。
    • 最后计算$\sigma_{-1N}$的值，将$\sigma_{-1}=270\mathrm{MPa}$代入公式可得：$\sigma_{-1N} = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}=270\times2.209\approx596.4\mathrm{MPa}$。
  • 当$N = 620000$时：
    • 先计算$\frac{N_0}{N}$的值，将$N_0 = 10^{7}$，$N = 620000$代入可得：$\frac{N_0}{N}=\frac{10^{7}}{620000}\approx16.129$。
    • 接着计算$\left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$的值，将$m = 9$代入可得：$\left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}=16.129^{\frac{1}{9}}\approx1.362$。
    • 最后计算$\sigma_{-1N}$的值，将$\sigma_{-1}=270\mathrm{MPa}$代入公式可得：$\sigma_{-1N} = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}=270\times1.362\approx367.7\mathrm{MPa}$。

（2）计算应力幅为330$\mathrm{MPa}$的对称循环应力作用下的疲劳寿命

疲劳寿命的计算公式为：$N = N_0 \left( \frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a} \right)^m$，其中$\sigma_a$是应力幅。

  • 首先计算$\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a}$的值，将$\sigma_{-1}=270\mathrm{MPa}$，$\sigma_a = 330\mathrm{MPa}$代入可得：$\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a}=\frac{270}{330}\approx0.8182$。
  • 然后计算$\left( \frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a} \right)^m$的值，将$m = 9$代入可得：$\left( \frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a} \right)^m=(0.8182)^9\approx0.168$。
  • 最后计算$N$的值，将$N_0 = 10^{7}$代入公式可得：$N = N_0 \left( \frac{\sigma_{-1}}{\sigma_a} \right)^m=10^{7}\times0.168 = 1.68\times10^{6}$次。